【BZOJ3232】圈地游戏 分数规划+最小割
【BZOJ3232】圈地游戏
Description
DZY家的后院有一块地,由N行M列的方格组成,格子内种的菜有一定的价值,并且每一条单位长度的格线有一定的费用。
DZY喜欢在地里散步。他总是从任意一个格点出发,沿着格线行走直到回到出发点,且在行走途中不允许与已走过的路线有任何相交或触碰(出发点除外)。记这条封闭路线内部的格子总价值为V,路线上的费用总和为C,DZY想知道V/C的最大值是多少。
Input
第一行为两个正整数n,m。
接下来n行,每行m个非负整数,表示对应格子的价值。
接下来n+1行,每行m个正整数,表示所有横向的格线上的费用。
接下来n行,每行m+1个正整数,表示所有纵向的格线上的费用。
(所有数据均按从左到右,从上到下的顺序输入,参见样例和配图)
Output
输出一行仅含一个数,表示最大的V/C,保留3位小数。
Sample Input
3 4
1 3 3 3
1 3 1 1
3 3 1 0
100 1 1 1
97 96 1 1
1 93 92 92
1 1 90 90
98 1 99 99 1
95 1 1 1 94
1 91 1 1 89
1 3 3 3
1 3 1 1
3 3 1 0
100 1 1 1
97 96 1 1
1 93 92 92
1 1 90 90
98 1 99 99 1
95 1 1 1 94
1 91 1 1 89
Sample Output
1.286
HINT
题解:感觉分数规划的题经常和网络流搭配,但建图还是我的弱项啊~
先二分答案mid,将所有边的权值变成(mid*边权),然后相当于跑一个点权为正,边权为负的最大权闭合图,然后思考怎么建图
1.从S向所有点连一条容量为点权的边,这是由最大权闭合图的思想得到
2.从所有点向相邻的点连一条容量为(mid*边权)的边(具体地说,是两条有向边),这个在两个点都选或都不选的时候没什么用,但是如果一个选另一个不选,那么就相当于要付出这条边边权的代价
3.从所有边界上的点向T连一条容量为(mid*边权)的边,这个可以理解为在网格外面还有一圈的点,这些点必须不选,也就相当于这些点可以和T看成一个点。那么如果选了边界上的点,必须付出这些边界上的边权 的代价。
这样最优代价和就变成了(所有正权和-最小割),如果是正值,就调整l,否则调整r
如果你不理解这样建图的可行性,可以yy一下:
如果我们选出了这样一些点,那么他们和相邻的不选的点(包括网格外的点)都要用边隔开,也就是说我们要付出这些边的代价,(2)(3)中连的边可以满足这个要求;此时,其余的点都不能选,意味着他们都要和S隔开,意味着我们要付出这些点点权的代价,(1)中连的边可以满足这些要求;又因为所有不选的点一定会间接的和网格外的点相连,那么它们自然地被划分到了T集合中,当然,选的点也已经被划分到了S集合中,此时我们已经成功的将所有代价都 割 掉了
如果还感觉说的不清楚的话可能是我自己理解的也不够 细 吧~
#include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <queue> #define eps 1e-6 #define P(A,B) ((A-1)*m+B) using namespace std; int n,m,cnt,S,T; int d[3000],to[500000],next[500000],head[3000]; int map[60][60],e1[60][60],e2[60][60]; double val[500000],ans,tot; queue<int> q; double dfs(int x,double mf) { if(x==T) return mf; int i; double temp=mf,k; for(i=head[x];i!=-1;i=next[i]) { if(val[i]>eps&&d[to[i]]==d[x]+1) { k=dfs(to[i],min(temp,val[i])); if(k<eps) d[to[i]]=0; val[i]-=k,val[i^1]+=k,temp-=k; if(temp<eps) break; } } return mf-temp; } int bfs() { while(!q.empty()) q.pop(); memset(d,0,sizeof(d)); int i,u; q.push(S),d[S]=1; while(!q.empty()) { u=q.front(),q.pop(); for(i=head[u];i!=-1;i=next[i]) { if(!d[to[i]]&&val[i]>eps) { d[to[i]]=d[u]+1; if(to[i]==T) return 1; q.push(to[i]); } } } return 0; } void add(int a,int b,double c) { to[cnt]=b,val[cnt]=c,next[cnt]=head[a],head[a]=cnt++; to[cnt]=a,val[cnt]=0,next[cnt]=head[b],head[b]=cnt++; } bool check(double sta) { int i,j; memset(head,-1,sizeof(head)); cnt=0; S=0,T=n*m+1; ans=0.0; for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=m;j++) add(0,P(i,j),1.0*map[i][j]); for(i=1;i<n;i++) for(j=1;j<=m;j++) add(P(i,j),P(i+1,j),sta*e1[i][j]),add(P(i+1,j),P(i,j),sta*e1[i][j]); for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<m;j++) add(P(i,j),P(i,j+1),sta*e2[i][j]),add(P(i,j+1),P(i,j),sta*e2[i][j]); for(i=1;i<=m;i++) add(P(1,i),T,sta*e1[0][i]),add(P(n,i),T,sta*e1[n][i]); for(i=1;i<=n;i++) add(P(i,1),T,sta*e2[i][0]),add(P(i,m),T,sta*e2[i][m]); while(bfs()) ans+=dfs(0,99999999.999999); return tot-ans>eps; } int main() { scanf("%d%d",&n,&m); int i,j; for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&map[i][j]),tot+=1.0*map[i][j]; for(i=0;i<=n;i++) for(j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&e1[i][j]); for(i=1;i<=n;i++) for(j=0;j<=m;j++) scanf("%d",&e2[i][j]); double l=0.0,r=n*m*100.0,mid; while(r-l>eps) { mid=(l+r)*0.5; if(check(mid)) l=mid; else r=mid; } printf("%.3f",l); return 0; }
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