【BZOJ4002】[JLOI2015]有意义的字符串 数学
【BZOJ4002】[JLOI2015]有意义的字符串
Description
B 君有两个好朋友,他们叫宁宁和冉冉。有一天,冉冉遇到了一个有趣的题目:输入 b;d;n,求
Input
一行三个整数 b;d;n
Output
一行一个数表示模 7528443412579576937 之后的结果。
Sample Input
1 5 9
Sample Output
76
HINT
其中 0<b^2< = d<(b+1)2< = 10^18,n< = 10^18,并且 b mod 2=1,d mod 4=1
题解:最近数学老师刚讲的特征方程,吓人~
对于数列
我们设出特征方程x²=px+q,解出特征根x1,x2,则通项公式为
然后根据题意,令x1=,x2=
,令A=B=1,所以得到a[0]=2,a[1]=b
然后a[n]我们将x1,x2带入特征方程求出p和q,然后用矩阵乘法求出a[n],剩下一个,发现它的绝对值是小于1的,那么只有在n为奇数时它才会产生-1的贡献
#include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #define mod 7528443412579576937ull using namespace std; typedef unsigned long long ll; ll A,C,B,D,n,ans1; typedef struct matrix { ll v[5][5]; }M; M ans,x,empty; ll pmm(ll a,ll b) { ll c=0; while(b) { if(b&1) c=(c+a)%mod; a=(a+a)%mod,b>>=1; } return c; } M mmul(M a,M b) { M c=empty; int i,j,k; for(i=1;i<=2;i++) for(j=1;j<=2;j++) for(k=1;k<=2;k++) c.v[i][j]=(c.v[i][j]+pmm(a.v[i][k],b.v[k][j]))%mod; return c; } M pm(ll y) { while(y) { if(y&1) ans=mmul(ans,x); x=mmul(x,x),y>>=1; } } int main() { scanf("%llu%llu%llu",&B,&D,&n); if(n==0) { printf("1"); return 0; } A=B,C=(D-A*A)/4; ans.v[1][1]=A,ans.v[1][2]=2; x.v[1][1]=A,x.v[2][1]=C,x.v[1][2]=1; pm(n-1); printf("%llu",ans.v[1][1]-(C&&(n%2==0))); return 0; }
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