CF1016D Vasya And The Matrix Solution

题目传送门

做法

因为是异或运算，可以按位考虑。

先预处理出行 ( \(a[i]\) ) 异或和 \(suma\)，与列 ( \(b[i]\) ) 的异或和 \(sumb\)。

• 如果 \(suma \ne sumb\)，那就说明无解，因为 \(suma\) 和 \(sumb\) 最后都代表着整个矩阵的异或和，如果两者不相等，那就说明矛盾，无解。

• 否则就一定存在解。

具体地，设 \(ans[n][m]\) 为最终的答案矩阵，对于 \(n-1,m-1\) 的子矩阵我们可以全部填上 \(0\) ，其余的部分就为：

\(ans[i][m]=a[i]~(i \in [1,n-1]),~ans[n][j]=b[j]~(j\in[1,m-1])\)。

\(ans[n][m]=(suma ~~ \text{xor} ~~ a[n]) ~~ \text{xor} ~~ b[m]\)。

前面这两行的意思都是为满足题意，第一行就是直接填上原来的数（因为它前面的数都是一堆 \(0\) ，也就是这一行或者这一列只受一个因素影响，所以直接填上原数不会对答案造成影响），第二行因为 \(ans[n][m]\) 同时被两个因素 \(a[n]\) 与 \(b[m]\) 影响，所以要单独讨论。

\(suma ~~ \text{xor} ~~ a[n]\) 的结果是整个矩阵前 \(n-1\) 行的异或和，用它在 \(\text{xor} ~~ b[m]\) 的结果是长这个样子：

又因为 \(ans[1,~...~,n-1][1,~...~,m-1]\) 都为 \(0\) ，所以 \(suma ~ \text{xor}~ a[n]\) 就是 \(ans[1][m],ans[2][m],...ans[n-1][m]\) 的异或和。用这个结果在异或 \(b[n]\) 就刚好是 \(ans[n][m]\) 。

现在来考虑此做法的正确性，显然在判断无解的情况我们是没有问题的，有解时的对答案矩阵的构造方案也显然是对的。所以正确性得到了证明。

\(Code\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=200;
int n,m,a[N],b[N],ans[N][N];
int main()
{
	int suma=0,sumb=0;
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]),suma^=a[i];
	for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d",&b[i]),sumb^=b[i];
	if(suma!=sumb)
	{
		printf("NO\n");
		return 0;
	}
	printf("YES\n");
	for(int i=1;i<=n-1;i++)
		for(int j=1;j<=m-1;j++)ans[i][j]=0;
	for(int i=1;i<=n-1;i++)ans[i][m]=a[i];
	for(int i=1;i<=m-1;i++)ans[n][i]=b[i];
	ans[n][m]=b[m]^(suma^a[n]);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=m;j++)
			printf("%d ",ans[i][j]);
		printf("\n");
	}
	return 0;
}