更相减损术（辗转相减法）

更相减损术：已知两数\(a\)和\(b\)，求\(gcd(a,b)\)。

不妨设\(a \geq b\)，若\(a=b\)，则\(gcd(a,b)=a=b\)，否则对于所有\(\forall d|a,d|b\)，可以证明\(d|a-b\)。

证明\(d|a-b\)如下，设\(a=k_1\times d\)，\(b=k_2 \times d\)，因为\(a>b\)，所以一定有\((k_1>k_2)\)。所以\(a-b=(k_1-k_2)\times d\)，又因为\(k_1\neq k_2\)，所以\(d|a-b\)，故得证。

因此，\(a\)和\(b\)的所有公因数都是\(a-b\)和\(b\)的公因数，即\(gcd(a,b)=gcd(b,a-b)\)。

算法优化

如果\(a >> b\)(\(>>\)表示远大于)，那么这个算法时间复杂度是\(O(|a|)\)的。

那考虑优化，若\(2|a,2|b\)，\(gcd(a,b)=2\times gcd(\frac{a}{2},\frac{b}{2})\)，否则若\(2|a,2\nmid b\)（\(2|b\)）同理，\(gcd(a,b)=\frac{a}{2},b\)，再如果\(2 \nmid a,2 \nmid b\)时，那么一定\(2|a-b\)，那么又回到\(2|a,2\nmid b\)的情况了，优化后的算法是\(O(log~n)\)的。

证明如下，每次操作一定至少能将\(a\)和\(b\)之一减半。否则\(2|a-b\)，回到上一种情况，算法最多进行\(O(log~n)\)次。