CF1900E Transitive Graph

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前置芝士：缩点、拓扑排序。

题目描述

有向图 $G$ 有 $N$ 个点，$M$ 条边，点 $u$ 的点权为 $A_u$。

若存在三元组 $a,b,c$ 使得 $a$ 至 $b$ 有一条边，$b$ 至 $c$ 有一条边，则连一条 $a$ 至 $c$ 的边。重复执行以上操作，直到不存在这样的三元组为止。

求其最长链长度及最长链上的最小点权和。

分析

不难发现，只要 $a,c$ 连通，则能连一条 $a$ 至 $c$ 的边。

若 $a,c$ 在一个强连通分量内：

因为强连通分量内部任意两点连通，一个强连通分量在上述操作后可变为完全子图。

显然可以从任意一点进入子图遍历所有点后从任意一点离开子图。即一个完全子图的最长链长度为子图的点数。

点权和为完全子图内部的点权之和。

即对于强连通分量 $G(V,E)$，最长链长度为 $|V|$，点权和为 $\sum\limits_{u\in V}a_u$。

若 $a,c$ 不在一个强连通分量内：

显然 $a\to b,b\to c$ 的长度大于 $a\to c$。所以最优决策不是走 $a\to c$ 这条新连的边。这里可视为不连接 $a,c$。

以每个点的强连通分量编号进行建图。

显然缩点后组成的图是 DAG。否则这个大图可以构成一个新的强连通分量。

接下来便可以拓扑排序后跑 DAG 上最长链板子。

设 $f_u$ 为以 $u$ 为起点的最长链长度，$g_u$ 为以 $u$ 为起点的最长链的最小点权和。

则有转移方程 $f_u=\max\{f_u,f_v+w_v\},(u,v)\in E$。

显然当 $f_u<f_v+w_v$ 时，$g_u=g_v+w'_v$。

而当 $f_u=f_v+w_v$ 时，$g_u=\min\{g_u,g_v+w'_v\}$。

代码

请欣赏工程码风。

#include <bits/stdc++.h>
#include <algorithm>
#define int long long
const int maxn = 2e5 + 20;
const int inf = 2e18;
int n, m;
int a[maxn];
int dfn[maxn], low[maxn], dfncnt;
int scc[maxn], sz[maxn], val[maxn], sccidx;
int stack[maxn], top;
int inDeg[maxn];
int f[maxn], fval[maxn];
std::vector <int> topo;
struct graph {
    struct edge {
        int u, v, w, next;
    };
    int head[maxn], cnt;
    edge e[maxn];
    void add(int x, int y) {
        e[++cnt].u = x, e[cnt].v = y, e[cnt].next = head[x], head[x] = cnt;
    }
} g, p;
void tarjan(int u, graph &g) {
    low[u] = dfn[u] = ++dfncnt;
    stack[++top] = u;
    for(int i = g.head[u]; i; i = g.e[i].next) {
        int v = g.e[i].v;
        if(!dfn[v]) tarjan(v, g), low[u] = std::min(low[u], low[v]);
        else if(!scc[v]) low[u] = std::min(low[u], dfn[v]);
    }
    if(low[u] == dfn[u]) {
        sccidx++;
        while(stack[top] != u) scc[stack[top--]] = sccidx, sz[sccidx]++;
        scc[stack[top--]] = sccidx, sz[sccidx]++;
    }
}
void getSCC(int n, graph &g) {
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        if(!dfn[i]) tarjan(i, g);
}
std::vector <int> topoSort(graph &g) {
    std::queue <int> q;
    std::vector <int> res;
    for(int i = 1; i <= sccidx; i++)
        if(inDeg[i] == 0) q.push(i);
    while(!q.empty()) {
        int u = q.front();
        q.pop();
        res.push_back(u);
        for(int i = g.head[u]; i; i = g.e[i].next) {
            int v = g.e[i].v, w = g.e[i].w;
            if(--inDeg[v] == 0) q.push(v);
        }
    }
    return res;
}
void solve() {
    int ans = 0, ansp;
    sccidx = 0, dfncnt = 0, g.cnt = 0, p.cnt = 0, top = 0;
    scanf("%lld %lld", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%lld", &a[i]), g.head[i] = p.head[i] = val[i] = sz[i] = dfn[i] = scc[i] = 0;
    for(int i = 1; i <= m; i++) {
        int x, y;
        scanf("%lld %lld", &x, &y);
        g.add(x, y);
    }
    getSCC(n, g);
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = g.head[i]; j; j = g.e[j].next) {
            int v = g.e[j].v;
            if(scc[i] == scc[v]) continue;
            p.add(scc[i], scc[v]);
            inDeg[scc[v]]++;
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        val[scc[i]] += a[i];
    topo = topoSort(p);
    for(int i = 1; i <= sccidx; i++) {
        if(inDeg[i] == 0) fval[i] = val[i], f[i] = sz[i];
        else fval[i] = inf;
    }
    for(auto u : topo) {
        for(int i = p.head[u]; i; i = p.e[i].next) {
            int v = p.e[i].v, w = sz[v];
            if(f[v] < f[u] + w) f[v] = f[u] + w, fval[v] = fval[u] + val[v];
            else if(f[v] == f[u] + w) fval[v] = std::min(fval[v], fval[u] + val[v]);
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        if(ans < f[i]) ans = f[i], ansp = fval[i];
        else if(ans == f[i]) ansp = std::min(ansp, fval[i]);
    printf("%lld %lld\n", ans, ansp);
}
signed main() {
    int t;
    scanf("%lld", &t);
    while(t--) solve();
    return 0;
}