区间 dp 总结

合集 - 总结(5)

1.区间 dp 总结2023-11-26

2.dp部分专练总结2023-07-233.图论总结2023-12-164.Week 2 学习笔记 (7.10~7.15)2023-07-165.二分图 & SCC 学习笔记 (7.3~7.8)2023-07-09

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写在前面：挺好玩的，就是有点费脑子。

区间 dp，顾名思义，其本质是在大区间内枚举断点，将其分成两个小区间后选择最优方案进行转移。

特点为从小区间转移至大区间，自底向上求值。

通项公式为 \(f_{l,r}=\max\limits_{k=l}^{r-1}f_{l,k}+f_{k+1,r}+w_{l,r}\)。

主要 dp 板块需要借助题目感性理解一下。不然会很抽象。虽然借助例题理解也很抽象就是了

下方由主观难度由易到难排序。

过于简单的就不写了。主要是懒

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T1. [CQOI2007] 涂色

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设状态 \(f_{l,r}\) 为 \([l,r]\) 内的最少涂色次数。

初始化 \(f_{i,i}=1\)， \(f_{i,i+1}=\begin{cases}2&s_i\neq s_{i+1}\\1&s_1=s_{i+1}\end{cases}\) 。

显然，若两次涂色有重合部分，必然不是最优解。

枚举断点 \(k\)，有转移方程 \(f_{l,r}=\min\limits_{l+1}^{r-1}f_{l,k}+f_{k+1,r}\)。

特判一下 \(s_l=s_r\) 的情况。 此时可以发现 \(f_{l,r}\)，\(f_{l+1,r}\)，\(f_{l,r-1}\) 等价。即 \(f_{l,r}=f_{l+1,r}=f_{l,r-1}\)。

故

\[f_{l,r}=\begin{cases}\min\limits_{l+1}^{r-1}f_{l,k}+f_{k+1,r}&s_l\neq s_r\\\min\{f_{l+1,r},f_{l,r-1}\}&s_l=s_r\end{cases} \]

T2. 表达式的亿种可能性

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令 \(A\) 为 \(f_{l,k}\) 所有运算顺序结果的集合，\(B\) 为 \(f_{k+1,r}\) 所有运算顺序结果的集合。令 \(|A|=p,|B|=q\)。

故

\[f_{l,r}=\begin{cases}\sum\limits_{i=1}^p\sum\limits_{j=1}^q(A_i+B_j)&op_k=+\\\sum\limits_{i=1}^p\sum\limits_{j=1}^q(A_i-B_j)&op_k=-\\\sum\limits_{i=1}^p\sum\limits_{j=1}^qA_iB_J&op_k=\times\end{cases} \]

即

\[f_{l,r}=\begin{cases}q\times f_{l,k}+p\times f_{k+1,r}&op_k=+\\q\times f_{l,k}+p\times f_{k+1,r}&op_k=-\\f_{l,k}\times f_{k+1,r}&op_k=\times\end{cases} \]

由于 \(f_{l,r}=\{A_1,A_2,\cdots A_p\}op_k\{B_1,B_2,\cdots B_q\}\)，即只要保证 \(A,B\) 的内部顺序不变，可以将 \(A,B\) 任意穿插，共有 \(C^p_{p+q}\) 种顺序。

故要给 \(f_{l,r}\) 乘上系数 \(C^p_{p+q}\)。

时间复杂度 \(O(n^3)\)。

T3. [JXOI2018] 守卫

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这题主要是状态转移的细节不太好理解。

但是是第一道单切紫题，好诶 所以就把题解粘上来了

设状态 \(f_{l,r}\) 为在区间 \([l,r]\) 内要放的最少保镖数量。

看到题面第一眼的感觉是不会判两点能否连接。

第二眼发现可以用斜率判。

令 \(k_{l,r}\) 为横坐标为 \(l,r\) 的两点连线斜率。

有 \(k_{l,r}=\frac{h_r-h_l}{r-l}\)。

手搓几组样例，得 \(\forall x\in[l,r)\)，有 \(k_{l,r}<k_{x,r}\) 。即对于 \(x\in[l,r)\)，\((x,r)\) 的连线斜率最小。

且若 \(a\) 对于 \(b\) 可见，并满足 \(h_c>h_b\) 与 \(c>a\)，则 \(a\) 对于 \(c\) 可见。

令 \(p=\{p_1,p_2\cdots p_m\}\) 为 \(r\) 点当前能够覆盖的点集。注：下文中 \(p\) 按照从右至左斜率单调递减的顺序排序。

注：能被覆盖的点可能不连续。但能被覆盖的点的斜率可以保证从右至左单调递减。

若想为点集连续，可能会导致 “\(p\) 为 \(r\) 点当前能够覆盖的最远点” 的错误贪心思路。喜提20pt。

如图，\(r=G\) 时，\(p=\{E,D,B\}\)。

接下来是这题个人认为比较难处理的地方。

由于 \(p\) 不一定连续，故 \([p_{i+1}+1,p_i-1]\) 对于 \(r\) 不可见。

由上述性质得，对于 \(j\in[p_i,r)\)，\(j=p_i\) 是唯一可以覆盖 \([p_{i+1}+1,p_i-1]\) 中至少一个点的点。 即在区间 \((p_{i+1},p_i)\) 右侧唯一能够覆盖到此区间的点为 \(p_i\)。（有点绕，建议自己手玩一下。）

如图，以 \(A\) 为右端点，\([D,A]\) 中能覆盖 \([G,E]\) 的唯一点为 \(D\)。

当然，也可以选择在 \(p_i-1\) 处放置保镖，从内部将点覆盖。

如在点 \(E\) 放置保镖。

故 \(p_i,p_i-1\) 至少有一处要放置保镖。

这样就成功的将区间 \([p_{i+1}+1,p_i]\) 或 \([p_{i+1}+1,p_i-1]\) 转换为了一个子问题。

区间 \([p_{k+1}+1,p_k-1]\) 的代价即为

\[f_{p_{i+1}+1,p_i-1}=\min\{f_{p_{i+1}+1,p_i-1},f_{p_{i+1}+1,p_i}\} \]

此时有转移方程：

\[f_{l,r}=\sum\limits_{i=1}^m\min\{f_{p_{i+1}+1,p_i-1},f_{p_{i+1}+1,p_i}\} \]

时间复杂度 \(O(n^3)\)，能拿 \(70\) pts。

考虑优化。

• 因为 \(p_i\) 是在 \([p_i,r)\) 中与 \(r\) 点连线斜率最小的，所以对于 \(x\in[l,p_i)\)，若存在 \(f_{x,r}<f_{p_i,r}\)，则 \(p_{i+1}=x\)。 可以考虑将 \(p_i\) 在循环里滚动处理。

• 可以注意到根据上述转移，当处理至 \(p\) 点时，区间 \([p,r]\) 可以保证被完全覆盖。有转移方程

  \[f_{l,r}=\min\{f_{l,p-1,f_{l,p}}\}+f_{p+1,r} \]

干掉一个线性时间复杂度。时间复杂度 \(O(n^2)\)。

T4. 有味道的数字

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先写一个暴搜。发现 \(n\leq 5000\) 的时候，\(|P|\leq 11\)。

即 \(n\leq 5000\) 的所有数字可以用 \(11451419191\) 表示。

这题主要是状态设计难想。

设 \(f_{l,r}\) 为区间 \([l,r]\) 能表示的所有数的集合。

令 \(A=\{1,1,4,5,1,4,1,9,1,9,1\}\)。

初始化 \(f_{l,r}\) 为 \(A_l\) ~ \(A_r\) 直接拼接的数字。如 \(f_{3,6}=\{4514\}\)。

显然有状态转移：

\[\forall x \in f_{l,k},\ y \in f_{k+1,r},\ \{x+y,x\times y\}\in f_{l,r} \]

统计答案时，\(ans_x=\min\limits_{x\in f_{1,i}}i\)。

T5. [HAOI2016] 字符合并

然鹅并没有过。但是可以口胡一下。

看到二进制，一眼状压。

令 \(f_{l,r,s}\) 为区间 \([l,r]\) 合并为 \(s\) 获得的最大累计分数。

毕竟你得满足无后效性对吧。当区间内有多种情况或多条限制时，可以考虑加维转移。

那么对于每个状态 \(s\)，可以枚举断点 \(i\) 使得

\[f_{l,r,s}=\max\limits_{i=l}^{r-1}(f_{l,i,\lfloor\frac s 2\rfloor} + f_{i+1,r,s\bmod2}) \]

显然复杂度 \(O(2^{k-1}n^3)\) 会爆炸。

显然对于区间 \([l,r]\)，最终合并长度为

\[L=\begin{cases}1&k-1\ |\ len-1\\(len-1)\bmod(k-1)+1&\tt otherwise\end{cases} \]

所以只需要枚举 $k-1\ |i\ $ 的情况。

从合并后的串来转移。有转移方程

\[\begin{matrix}f_{l,r,2s}=\max(f_{l,i,s}+f_{i+1,r,0})\\f_{l,r,2s+1}=\max(f_{l,i,s}+f_{i+1,r,1})\end{matrix} \]

当 \(L=1\) 时，可以直接合并。

时间复杂度 \(O(\frac n k\times2^{k-1}n^2)\)。

常见 Tricks

• 遇到消除类的区间 dp，【数据删除】。
• 先这样吧，找时间填坑。

结语

个人认为区间 dp 是 dp 专题里面最简单的了。

主打一个感性理解和经验积累。真没啥套路。

想得出来就好写，想不出来就开摆。