[数据结构]一元n次多项式的抽象数据类型

一、问题描述

一元n次多项式是代数学中经常出现的代数式，对于一元n次多项式的操作有很重要的实际意义。由于一个一元n次多项式最多有n+1项，且互不相关，所以可以用一个线性表来保存一个多项式，从前至后次数递增。对于一个一元n次多项式，我们可以定义操作：多项式的加法、减法、乘法。

本次小作业采用了链式表示的线性表实现，且只实现了多项式的加法。我认为如果要实现多项式的乘法，顺序表示的线性表更合适。

二、数据结构——线性表

1、链式表示：

链式表示的线性表，每个单位元由数据域和指针域组成，数据域保存当前结点的数值，而指针域保存的是下一个逻辑位置的地址，以便于通过这个指针访问下一个结点。与顺序表示相比，链式表示具有插入、删除灵活方便的特点，然而访问不方便，只能够从头指针处遍历。

2、顺序表示：

顺序表示的线性表，用一段物理存储上连续的空间模拟线性表，以物理上的位置的顺序关系，表示逻辑上的顺序关系。由于其物理地址的相近，所以在访问方便的同时，出现了两个麻烦：一是当一次申请的空间不够时，只能重新申请一段更大的空间，把之前的所有数据按顺序“搬”过去，否则无法保证其物理顺序的连续性；二是当线性表需要插入、删除操作时，需要对一部分数据进行“移位”操作，时间复杂度高。

3、基于本小作业对两种表示的对比分析：

此次作业是要求做两个一元n次多项式的加法，抽象到ADT上来看，就是两个线性表的分项加法，所以不涉及到结点的插入、删除操作，于是链式表示的优势被削弱，而顺序表示的劣势不那么明显了。相比较而言，两者的实现没什么区别，所以我选择了链式表示来实现。

更多地来想，如果需要做多项式的乘法，那么顺序表示就比链式表示的优势要大了。多项式乘法的算法核心可以大致说明为：LC(i+j-1) += LA(i)*LB(j)。这里涉及到寻找i+j-1位置的LC的值并进行修改的操作，如果使用顺序表示更方便找到该位置。

三、算法的设计及实现

（1）建立线性表LA和LB，并读入数据。

（2）将LB中的每一项按顺序逐项加到LA中对应的项。

（3）如果LB比LA长，则把LB中剩余元素按顺序依次加到LA中。

（4）最后得到的LA就是最终结果。

四、预期结果和实验中的问题

1、预期结果：

输入两个一元n次多项式的各项系数后，按照次数递增分别保存在LA和LB中，然后将LB中的每一项对应加在LA中。

如LA={1,2,3,4,5,6}表示fa(x)=1+2*x+3*x^2+4*x^3+5*x^4+6*x^5，LB={2,2,3}表示fb(x)=2+2*x+3*x^2，则得到的结果应该是{3,4,6,4,5,6}表示fa(x)+fb(x)=3+4*x+6*x^2+4*x^3+5*x^4+6*x^5。

2、实验中的问题：

除去线性表实现的一些细节问题以外，还有针对此次小作业的问题。

上面有提到的是，如果要实现多项式的乘法，若使用顺序表示的线性表，则可以直接遍历LA和LB，每一个合法位置执行LC(i+j-1) += LA(i)*LB(j)就可以了；而假如要使用链式表示的线性表来实现，如果继续按照顺序表示的方式来遍历LA和LB，这样处理LC的位置在不停地变动，查找该位置时间开销很大，所以可以选择遍历i+j-1的值，对于一个固定的i+j-1，通过遍历i求出j的值来计算LC(i+j-1)的值。

我也思考了多项式除法的问题，发现涉及到数论的一些结论，类似于高精度数除以高精度数，还没有比较好的处理方式。当然，带余除法是可以用LA一直减去LB直到0<LA<LB为止。

 

附：c++源代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

struct node
{
    int Num;
    node *next;
};

class MyList
{
private:
    int Len;
    node *pHead;

public:
    void InitList()//构造一个空的线性表
    {
        Len = 0;
        pHead = NULL;
    }
    void ClearList()//重置为空表
    {
        node *Tmp;
        while(pHead)
        {
            Tmp = pHead;
            pHead = pHead -> next;
            delete Tmp;
        }
        Len = 0;
    }
    bool ListEmpty()//判断L是否为空表
    {
        return pHead == NULL;
    }
    int ListLength()//返回L中数据元素个数
    {
        return Len;
    }
    bool GetElem(int Pos, int &e)//返回第Pos个元素，出错返回true
    {
        if(Pos < 1 || Pos > Len)
        {
            printf("Wrong position!\n");
            return true;
        }
        node *Cur = pHead;
        int Index = 0;
        while(++Index < Pos && Cur)
            Cur = Cur -> next;
        e = Cur -> Num;
        return false;
    }
    //LocateElem(L, e, compare())//返回L中第一个与e满足关系compare()的元素的位序，不存在返回0
    bool PriorElem(int e, int &Pre_e)//若e是L中的元素，返回e的前躯，失败时返回true
    {
        if(pHead -> Num == e)
        {
            printf("Cannot find the precursor!\n");
            return true;
        }
        node *Cur = pHead, *Prev;
        while(Cur)
        {
            if(Cur -> Num == e)
                break;
            Prev = Cur;
            Cur = Cur -> next;
        }
        if(!Cur)
        {
            printf("Cannot find the element!\n");
            return true;
        }
        Pre_e = Prev -> Num;
        return false;
    }
    bool NextElem(int e, int &Next_e)//若e是L中的元素，返回e的后继，错误时返回true
    {
        node *Cur = pHead;
        while(Cur)
        {
            if(Cur -> Num == e)
                break;
            Cur = Cur -> next;
        }
        if(!Cur)
        {
            printf("Cannot find the element!\n");
            return true;
        }
        Cur = Cur -> next;
        if(!Cur)
        {
            printf("Cannot find the successor!\n");
            return true;
        }
        Next_e = Cur -> Num;
        return false;
    }
    bool ListInsert(int Pos, int e)//在Pos位置插入元素e，失败时返回true
    {
        if(Pos < 1 || Pos > Len + 1)
        {
            printf("Wrong position!\n");
            return true;
        }
        node *InsElem = new node;
        if(Pos == 1)
        {
            InsElem -> next = pHead;
            pHead = InsElem;
            InsElem -> Num = e;
        }
        else
        {
            node *Cur = pHead;
            int Index = 0;
            while(++Index + 1 < Pos && Cur)
                Cur = Cur -> next;
            InsElem -> next = Cur -> next;
            Cur -> next = InsElem;
            InsElem -> Num = e;
        }
        Len++;
        return false;
    }
    bool ListDelete(int Pos, int &e)//删除Pos位置的元素，用e返回，错误时返回true
    {
        if(Pos < 1 || Pos > Len)
        {
            printf("Wrong position!\n");
            return true;
        }
        node *DelElem = pHead;
        if(Pos == 1)
        {
            pHead = DelElem -> next;
            e = DelElem -> Num;
            delete DelElem;
        }
        else
        {
            node *Prev;
            int Index = 0;
            while(++Index < Pos && DelElem)
            {
                Prev = DelElem;
                DelElem = DelElem -> next;
            }
            Prev -> next = DelElem -> next;
            e = DelElem -> Num;
            delete DelElem;
        }
        Len--;
        return false;
    }
    //ListTraverse(L, visit())//依次对L中的每个数据元素调用函数visit()，一旦visit()失败，则操作失败
    void PrintList()
    {
        if(ListEmpty())
        {
            printf("The List is empty!\n");
            return ;
        }
        node *Cur = pHead;
        int Index = 0;
        while(++Index < Len && Cur)
        {
            printf("%d ",Cur -> Num);
            Cur = Cur -> next;
        }
        printf("%d\n",Cur -> Num);
    }
    bool ElemPrio(node a, node b)
    {
        return a.Num < b.Num;
    }
    bool ChangeElem(int Pos, int El) //把Pos位置元素的值改为El，失败返回true
    {
        if(Pos < 1 || Pos > Len)
        {
            printf("Wrong position!\n");
            return true;
        }
        node *Cur = pHead;
        int Index = 0;
        while(++Index < Pos && Cur)
            Cur = Cur -> next;
        Cur -> Num = El;
        return false;
    }
    void MergeList(MyList Lb) //把Lb插入L中
    {
        int aElem, bElem, aIndex = 0;
        while(aIndex < Len && (!Lb.ListEmpty()))
        {
            GetElem(++aIndex, aElem);
            Lb.GetElem(1, bElem);
            if(aElem > bElem)
            {
                Lb.ListDelete(1, bElem);
                ListInsert(aIndex, bElem);
            }
        }
        while(!Lb.ListEmpty())
        {
            Lb.ListDelete(1, bElem);
            ListInsert(Len + 1, bElem);
        }
    }
    void AddList(MyList Lb) //按项加法，把Lb往L中加
    {
        if(Lb.ListEmpty())
            return ;
        int bElem;
        node *Cur = pHead;
        while(Cur && (!Lb.ListEmpty()))
        {
            Lb.ListDelete(1, bElem);
            Cur -> Num += bElem;
            Cur = Cur -> next;
        }
        while(!Lb.ListEmpty())
        {
            Lb.ListDelete(1, bElem);
            ListInsert(Len, bElem);
        }
    }
    void PrintList_ForPolynomial()
    {
        if(ListEmpty())
        {
            printf("There is something wrong!\n");
            return ;
        }
        node *Cur = pHead;
        int Index = 0;
        while(++Index < Len && Cur)
        {
            if(Index == 1)
                printf("%d + ", Cur -> Num);
            else if(Index == 2)
                printf("%d * x + ", Cur -> Num);
            else
                printf("%d * x^%d + ", Cur -> Num, Index - 1);
            Cur = Cur -> next;
        }
        if(Index == 1)
            printf("%d\n", Cur -> Num);
        else if(Index == 2)
            printf("%d * x\n", Cur -> Num);
        else
            printf("%d * x^%d\n", Cur -> Num, Index - 1);
    }
};

void Read(MyList &L)
{
    int n, i, Elem;
    L.InitList();
    printf("Please input a number n.\n");
    scanf("%d", &n);
    printf("Please input n+1 numbers means a0+a1*x+a2*x^2+...+an*x^n.\n");
    for(i = 1; i <= n + 1; i++)
    {
        scanf("%d", &Elem);
        L.ListInsert(i, Elem);
    }
}

int main()
{
    MyList La, Lb;
    Read(La);
    Read(Lb);
    printf("La(x) = ");
    La.PrintList_ForPolynomial();
    printf("Lb(x) = ");
    Lb.PrintList_ForPolynomial();
    La.AddList(Lb);
    printf("La(x) + Lb(x) = ");
    La.PrintList_ForPolynomial();
    return 0;
}