[BZOJ 1879][SDOI 2009]Bill的挑战 题解(状压DP)

[BZOJ 1879][SDOI 2009]Bill的挑战

Description

Solution

1.考虑状压的方式。

方案1：如果我们把每一个字符串压起来，用一个布尔数组表示与每一个字母的匹配关系，那么空间为26^50，爆内存；

方案2：把每一个串压起来，多开一维记录匹配字符，那么空间为nlen26，合法，但不便于状态的设计和转移；

方案3：把每一个串同一个位置的字符放在一起，用一个布尔数组记录与每一个小写字母的匹配关系，那么空间为26^15*len，爆内存；

方案4：把每一个串同一个位置的字符压起来，用多开一维的整形数组记录与每一个小写字母的匹配关系，空间为2^15*len，合法；

采用方案4，那么关系具体的记录方式就是，开一个压缩数组r[2^15][len]，r[i][j]表示所有串第i位与第j个小写字母的匹配情况：

例如，第1到n个串的第i位分别为：？，a， b，c，那么他们与'a'的匹配情况为r[i][0]=0011;

void init(){
	for(R int i=0;i<len;++i)//第i列 
		for(R int x=0;x<26;++x){//对'a'增量为x 
			r[i][x]=0;
			for(R int k=0;k<n;++k)//第k个串 
				if(s[k][i]=='?'||s[k][i]=='a'+x)r[i][x]|=(1<<k);
		}
}

2.考虑DP的过程

方案1：f[i][j]表示当前匹配长度位i，状态为j，实际上也就是符合要求的匹配情况为j时的方案数

方案2：f[i][j]表示当前匹配到第i位，状态为j时的方案数；

两种方案均可，只是第一种的i永远比第二种的i多1罢了。

但是我们要采用方案1，因为初始化时，未匹配情况应该只有一个那就是111...111，所以对于第一种情况初始化就非常简单，也就是f[0][(1<<n)-1]=1;

然后就是转移，我们发现当且仅当前一位时当前状态合法才可转移，我们转移采用扩展状态的方式，即在当前状态上枚举增加状态，所以状态转移方程是：

(f[i][j&r[i-1][x]]+=f[i-1][j])%=mod;

Code

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#define R register
typedef long long ll;
using namespace std;

const int mod=1e6+3;

string s[20]; 
int n,m,r[51][50010],f[51][50010];

inline int lowbit(int x){return x&-x;}

void init(){
	cin>>n>>m;
	memset(f,0,sizeof(f));
	for(R int i=0;i<n;++i)cin>>s[i];
	int len=s[0].size();
	for(R int i=0;i<len;++i)//第i列 
		for(R int x=0;x<26;++x){//对'a'增量为x 
			r[i][x]=0;
			for(R int k=0;k<n;++k)//第k个串 
				if(s[k][i]=='?'||s[k][i]=='a'+x)r[i][x]|=(1<<k);
		}
}

void work(){
	int lim=(1<<n)-1;
	int len=s[0].size();
	f[0][lim]=1;
	for(R int i=1;i<=len;++i)
		for(R int j=0;j<=lim;++j)//状态 
			if(f[i-1][j])//如果当前前一列子集被更新过，即要扩展的状态合法 
				for(R int x=0;x<26;++x)//对'a'增量为x
					(f[i][j&r[i-1][x]]+=f[i-1][j])%=mod; 
	int ans=0;
	for(R int i=0;i<=lim;++i){
		int temp=i,cnt=0;
		while(temp){cnt++;temp-=lowbit(temp);}
		if(cnt==m) (ans+=f[len][i])%=mod;
	}
	printf("%d\n",ans);
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	int t;
	cin>>t;
	while(t--){
		init();
		work();
	}
	return 0;
}