卢卡斯定理详解
简述
卢卡斯定理是用于求c(n,m) mod p,p为素数的值。
题目中求n和m很大的组合数时,结果一般都会溢出,所以经常会求组合数%p的某个值。当p大于m时,我们可以直接根据定义求分母在模p意义下的乘法逆元求出结果:
但当p<m时,分母的乘法逆元可能不存在(m可能是p的倍数),所以就轮到卢卡斯定理出场了。
定理描述
对于非负整数n,m和质数p
其中,
为n和m的p进制展开。
在做题中我们用到的是递推式:
当m<n时,规定c(n,m)=0。
证明
设x是任意小于p的正整数,那么有:
因为x<p,所以x存在modp意义下的逆元,于是乎:
因为等式右边是p的倍数,所以:
公式1
根据二项式定理,在modp意义下,我们有
当n=p时,根据公式1,除了i=0和i=p时,其余项都为0,所以
公式2
现在我们设,
,那么
根据二项式定理,我们有:
我们对等式左端进行变形:
也就是说
我们来看k=n的情况,观察项,左边为
,我们现在来看右边,因为j<rm<p,同时rn<rm,我们只能取j=rn,i=qn
于是乎我们可以得到:
两边同时乘inv(xn),我们就可以得到:
代码详解
根据上面的递推式,我们可以写出如下代码:
注意这里是n下m上,递归终点为m==0
ll lucas(ll n,ll m){ if(m==0) return 1; return lucas(n/p,m/p)*c(n%p,m%p)%p; }
那怎么算C(n,m)呢?我们就要用到乘法逆元,根据定义来算
这里的num[i]为i的阶层,inv(i)为i在模p意义下的乘法逆元
ll c(ll n,ll m){ if(m>n) return 0; return (num[n]*inv(num[m])%p)*inv(num[n-m])%p; }
乘法逆元我们用费马小定理来算,这里不展开叙述
ll mypow(ll x,ll n,ll m){ ll res=1; while(n){ if(n&1) res=res*x%m; x=x*x%m; n>>=1; } return res; } ll inv(ll x){ return mypow(x,p-2,p); }
模板
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ll num[maxn]; ll mypow(ll x,ll n,ll m){ ll res=1; while(n){ if(n&1) res=res*x%m; x=x*x%m; n>>=1; } return res; } ll inv(ll x){ return mypow(x,p-2,p); } ll c(int n,int m){ if(m>n) return 0; return (num[n]*inv(num[m])%p)*inv(num[n-m])%p; } ll lucas(ll n,ll m){ if(m==0) return 1; return lucas(n/p,m/p)*c(n%p,m%p)%p; }
一点一点积累,一点一点蜕变!