【SHTSC2013】阶乘字符串 题解

【SHTSC2013】阶乘字符串

Description

给定一个由前n个小写字母组成的串S。
串S是阶乘字符串当且仅当前n个小写字母的全排列（共n!种）都作为S的子序列（可以不连续）出现。
由这个定义出发，可以得到一个简单的枚举法去验证，但是它实在太慢了。所以现在请你设计一个算法，在1秒内判断出给定的串是否是阶乘字符串。

Input

输入第1行一个整数T，表示这个文件中会有T组数据。
接下来分T个块，每块2行：
第1行一个正整数n，表示S由前n个小写字母组成。
第2行一个字符串S。

Output

对于每组数据，分别输出一行。每行是YES或者NO，表示该数据对应的串S是否是阶乘字符串。

Sample Input

2
2
bbaa
2
aba

Sample Output

NO
YES

Data Constraint

Hint

样例解释：
第一组数据中，ab这个串没有作为子序列出现。

题解

这题目乍一看不好下手，但是我们知道只有26个字母，所以可以考虑状压DP
但是，如果按照常规的思路来说，这道题的复杂度是\(O(2^n*n)\)的，当\(n=26\)时，复杂度大概在17亿左右，是过不了的
But这题有个神奇的结论：就是当\(n>21\)是必定无解，证明的思路详见此，虽然这个证法也是有点假的，但是它给我们提供了一个很好的思路
重新回到这题的题解，我们设\(f[i]\)表示当前选取的字母集合为二进制状态\(i\)时，可以满足使这若干个字母成为阶乘子序列的需要在目标串中选取的最少的前几个字母
为了方便转移，我们要构建一个基础的子序列自动解\(next[i][j]\)表示在目标串第\(i\)的位置以后第一次出现字母\(j\)的位置
然后我们考虑用\(i\)这个状态往其他状态转移，转移方程是：
\(f[i|(1<<j-1)]=max(f[i|(1<<j-1)],next[f[i]][j])\) (\(j\)表示枚举的字母）
这是考虑将字母\(j\)加在最后面的，而字母\(j\)加在中间的情况在转移别的状态是已经或将会被考虑到
然后为什么是取\(max\)呢？因为要保证所有的排列均可满足
最后判断\(f[(1<<i-1)-1]\)合不合法即可

CODE

#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
#define max(a,b) (((a)>(b))?(a):(b))
#define min(a,b) (((a)<(b))?(a):(b))
#define R register int
#define N 505
#define ll long long
#define M 4000005
#define K 30
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int t,n,len,f[M],next[N][K];
char s[N];
inline void read(int &x)
{
	x=0;int f=1;char ch=getchar();
	while (!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();x*=f;
}
inline bool pd()
{
	if (n>21) return 0;
	memset(f,0,sizeof(f));
	for (R i=1;i<=n;++i)
		next[len][i]=inf;
	for (R i=len;i;--i)
	{
		for (R j=1;j<=n;++j)
			next[i-1][j]=next[i][j];
		next[i-1][s[i]-96]=i;
	}
	int tot=1<<n;
	for (R i=0;i<tot;++i)
	{
		if (f[i]==inf) return 0;
		//如果当前状态无法达到，那么以它来转移的所有状态也是无法达到的
		for (R j=1;j<=n;++j)
			if (!(i&(1<<j-1)))
				f[i|(1<<j-1)]=max(f[i|(1<<j-1)],next[f[i]][j]);	
	}
	return f[tot-1]!=inf;
}
int main()
{
	read(t);
	while (t--)
	{
		read(n);scanf("%s",s+1);len=strlen(s+1);
		if (pd()) printf("YES\n");else printf("NO\n"); 
	}
	return 0;
}