浅谈主席树（可持久化线段树）

主席树（可持久化线段树）

前言：

建议先掌握线段树再来学习此知识点
这几天在中山纪中训练时有做到可持久化字典树的题，听别人说可持久化数据结构的思路都是差不多的，于是我便先上网学了学我看起来认为最简单的可持久化线段树（主席树），学了两个晚上终于学会了一点皮毛 (～￣▽￣)~，于是我便来总结一下理理思路
博客可能写的一般大佬勿喷……

名字分析：

顾名思义，可持久化的就是可以记录历史版本的意思，通过主席树，我们可以查询到单个节点历史的信息（或者也可以做到静态区间查询），或者对于某个历史版本进行单点修改产生新的版本。（如果想进行其它更难的操作可以使用树套树，可是我太弱了暂时还不会）
至于主席树这个名字嘛，据说时发明这个东西的人的姓名缩写是HJT，跟当时国家主席的姓名缩写一样，于是便有了这个说法……

引导：

从这个名字看来，知道主席树跟线段树肯定是有联系的，那么我们来思考一下这个问题：如果只用普通的线段树怎么记录历史版本？
最直截了当的方法就是每次操作之后再重新建一棵线段树，数据小，题目空间限制大还可以做；如果数据和空间稍微恶心那么一点点，那么恭喜你，你将同时享受到MLE（空间超限）与TLE（时间超限）。
这里我画个图来示意一下线段树单点修改（查询）的过程（区间同理）
假设有一个数列长度为5，当前要修改（查询）第2个数，如下图，红色线代表到的区间：

我们可以发现，其实每次线段树改变的就只有一条链，这很重要，主席树的思想就差不多出来了
对于一次新的修改，我们只需要再次构造一条新的表示这一段区间的链，之后另外节点与前面的共用就行了，我再画一个图示意一下主席树的思想（还是以上面的为例，如下图：）

为了好看一点我把一些新节点的左右儿子反过来画了（不过还是好丑），大家凑合着看一看吧
所以主席树每一次进行操作，时间和增加的空间都是\(log\)的（树套树的话好像是2个\(log\)的，我也不太清楚，毕竟我还没开始学）

例题：

主席树模板题（因为当前我在gmoj找不到主席树的模板题，于是就用了luogu的）
题意大概是讲一开始给你一个长度为n初始数列，为版本0，之后有m个操作，对于每个操作有两种情况：
1. 改变某一个版本的某一个数，形成一个新的版本
2. 对某一个版本进行单点查询并输出，再生成一个完全一样的版本
（也就是说每次的版本号就是操作的号数）

讲解&代码

既然是模板题，我们就直接上代码和讲解吧

首先明白一个事实，因为主席树是要一些节点共用儿子节点的（也就是说一个节点可能有很多父亲），所以很显然是不能用\(now<<1\)或\(now<<1|1\)（也就是堆式结构）来表示节点now的儿子的，而是应该使用动态开点

变量：

struct arr
{
	int lson;//左儿子
	int rson;//右儿子
	int num;//节点值
}tree[40000005];//线段树节点
int n,m,tot,a[1000005]//原始数组;
int root[1000005];//每个版本的线段树根的编号

建树：

对于建树操作，跟线段树很类似，只不过是动态开点

void build(int &now,int l,int r)//这里的now是加了取址符的，所以这个传进去的变量也会随之改变
{
	now=++tot;//动态开点
	if (l==r) tree[now].num=a[l];//叶子节点赋值
	else
	{
		int mid=l+r>>1;
		build(tree[now].lson,l,mid);
		build(tree[now].rson,mid+1,r);//注意不能用now<<1和now<<1|1（也就是堆式结构）
	}
}

修改

对于修改操作，我们只是修改一条链，所以只用查找要修改的点进行新建节点，每次递归下来一个区间，就复制一份原线段树中当前节点的值，其它操作就跟线段树差不多一样了

void change(int last,int &now,int l,int r,int k,int x)//last表示上一个版本的线段树
{
	now=++tot;
	tree[now]=tree[last];//复制一份上一个版本的对应节点
	if (l==r) tree[now].num=x;
	else
	{
		int mid=l+r>>1;
		if (k<=mid) change(tree[last].lson,tree[now].lson,l,mid,k,x);
		else change(tree[last].rson,tree[now].rson,mid+1,r,k,x);//判断要修改的点是在左区间还是右区间
	}
}

查询

这基本就跟线段树一模一样了

int find(int now,int l,int r,int k)
{
	if (l==r) return tree[now].num;
	else
	{
		int mid=l+r>>1;
		if (k<=mid) return find(tree[now].lson,l,mid,k);
		else return find(tree[now].rson,mid+1,r,k);
	}
}

总代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct arr
{
	int lson;//左儿子
	int rson;//右儿子
	int num;//节点值
}tree[40000005];//线段树节点
int n,m,tot,a[1000005]//原始数组;
int root[1000005];//每个版本的线段树根的编号
void build(int &now,int l,int r)//这里的now是加了取址符的，所以这个传进去的变量也会随之改变
{
	now=++tot;//动态开点
	if (l==r) tree[now].num=a[l];//叶子节点赋值
	else
	{
		int mid=l+r>>1;
		build(tree[now].lson,l,mid);
		build(tree[now].rson,mid+1,r);//注意不能用now<<1和now<<1|1（也就是堆式结构）
	}
}
void change(int last,int &now,int l,int r,int k,int x)//last表示上一个版本的线段树
{
	now=++tot;
	tree[now]=tree[last];//复制一份上一个版本的对应节点
	if (l==r) tree[now].num=x;
	else
	{
		int mid=l+r>>1;
		if (k<=mid) change(tree[last].lson,tree[now].lson,l,mid,k,x);
		else change(tree[last].rson,tree[now].rson,mid+1,r,k,x);//判断要修改的点是在左区间还是右区间
	}
}
int find(int now,int l,int r,int k)
{
	if (l==r) return tree[now].num;
	else
	{
		int mid=l+r>>1;
		if (k<=mid) return find(tree[now].lson,l,mid,k);
		else return find(tree[now].rson,mid+1,r,k);
	}
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	int i;
	for (i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&a[i]);
	build(root[0],1,n);//建树存到版本0中
	for (i=1;i<=m;i++)
	{
		int v,cz,loc;
		scanf("%d%d%d",&v,&cz,&loc);
		if (cz==1)
		{
			int value;
			scanf("%d",&value);
			change(root[v],root[i],1,n,loc,value);//修改操作
		}
		else
		{
			printf("%d\n",find(root[v],1,n,loc));//查询操作
			root[i]=root[v];//生成一个一模一样的新版本（题目要求）
		}
	}
	return 0;
}

结语：

由于本人还没有深入去学主席树（可持久化线段树），所以一些比较难的操作我还不是很会（主要是没有尝试码过） (～￣▽￣)~，不过我这次写得很用心，如果有问题望各位大佬指出，或者如果大家有问题也可以评论下来，如果是我懂的我会尽力帮助大家解决，谢谢！