图论入门题单

图论简介：

图（Graph）

图可以被表示为 G={V, E}，其中 V={v1, ... , vN}表示n个点，E= {e1, ... , eM}表示m条边。

常用的储存方式包括邻接表和邻接矩阵。

连通分量（Connected Component）：各节点间至少存在一条边可以连通。

图的最短路入门：

P1144 最短路计数

B3647 【模板】Floyd 算法

P2910 [USACO08OPEN] Clear And Present Danger S

B3611 【模板】传递闭包

P5318 【深基18.例3】查找文献

 

拓扑排序入门：

B3644 【模板】拓扑排序 / 家谱树 

P3074 [USACO13FEB] Milk Scheduling S

 

 

 

 

 

最短路算法

Floyd算法：

与前两种算法不同，它是求解顶点之间两两最短距离。其基本思想是，如果节点i.k的距离加上k,j的距离小于i,j的距离，则更新i,j的距离。该思想与动态规划的思想类似。需要注意的是，在枚举的过程中，需要先枚举k，再枚举ij。Floyed算法时间复杂度为O(N³)。

可以理解为不断地消除中间节点k，把 i 和 j  经过中间节点的最短距离更新到 map[i][j]中，

相当于我们在i和j之间直接建立了一条可以用map[i][j]最短路径(把中间节点k消除了)

遍历n次就把所有的中间节点消除了，在任何两个节点 i，j 之间都建立了一条直连的最短路径map[i][j]

拓补排序：

拓扑排序是对一个有向图构造拓扑序列，解决工程是否能顺利进行的问题。构造时有 2 种结果：

1. 此图全部顶点被输出：说明说明图中无「环」存在， 是 AOV 网
2. 没有输出全部顶点：说明图中有「环」存在，不是 AOV 网

AOV（Activity On Vertex Network） ：一种 有向 无回路 的图。

求解方法：每次删除一个入度边个数为 0 的点，并刷新其他点的r入度

    再找一个入度为0的点

    重复以上步骤，直到节点全部输出