康托(cantor)展开

康托展开的公式

 

把一个整数X展开成如下形式:

X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[2]*1!+a[1]*0!

其中,a为整数,并且0<=a[i]<i(1<=i<=n)

康托展开的应用实例

 

{1,2,3,4,...,n}表示1,2,3,...,n的排列如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个。123 132 213 231 312 321 

代表的数字 1 2 3 4 5 6 也就是把10进制数与一个排列对应起来。

他们间的对应关系可由康托展开来找到。

如我想知道321{1,2,3}中第几个大的数可以这样考虑 :

第一位是3,当第一位的数小于3时,那排列数小于321 如 123、 213 ,小于3的数有1。所以有2*2!个。再看小于第二位2的:小于2的数只有一个就是,所以有1*1!=1 所以小于321{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个。所以321是第6个大的数。 2*2!+1*1!+0*0!就是康托展开。

再举个例子:1324{1,2,3,4}排列数中第几个大的数:第一位是1小于1的数没有,是0个 0*3! 第二位是3小于3的数有12,但1已经在第一位了,所以只有一个数2 1*2! 。第三位是2小于2的数是1,但1在第一位,所以有0个数 0*1! ,所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个,1324是第三个大数。

 

复制代码
 1 #include <iostream>
 2 #include <string>
 3 
 4 using namespace std;
 5 
 6 int main()
 7 {
 8     string s;
 9 
10     cin>>s;
11     int len=s.length();
12 
13     int sum=0;
14     for(int i=0;i<len;i++)
15     {
16         int a=0;
17         int b=1;
18         for(int j=i+1;j<len;j++)
19             if(s[j]<s[i])
20             {
21                 a=a+1;
22             }
23         //sum+=a*(8-i)!
24         for(int k=1;k<len-i;k++)
25         {
26             b*=k;
27         }
28 
29         sum+=a*b;
30     }
31 
32     cout<<sum<<endl;
33 
34     return 0;
35 }
复制代码

 

 

 

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