【bzoj2437】[Noi2011]兔兔与蛋蛋 二分图最大匹配+博弈论

Description

Input

输入的第一行包含两个正整数 n、m。
接下来 n行描述初始棋盘。其中第i 行包含 m个字符，每个字符都是大写英文字母"X"、大写英文字母"O"或点号"."之一，分别表示对应的棋盘格中有黑色棋子、有白色棋子和没有棋子。其中点号"."恰好出现一次。
接下来一行包含一个整数 k（1≤k≤1000） ，表示兔兔和蛋蛋各进行了k次操作。
接下来 2k行描述一局游戏的过程。其中第 2i – 1行是兔兔的第 i 次操作（编号为i的操作） ，第2i行是蛋蛋的第i次操作。每个操作使用两个整数x,y来描述，表示将第x行第y列中的棋子移进空格中。
输入保证整个棋盘中只有一个格子没有棋子， 游戏过程中兔兔和蛋蛋的每个操作都是合法的，且最后蛋蛋获胜。

Output

输出文件的第一行包含一个整数r，表示兔兔犯错误的总次数。
接下来r 行按递增的顺序给出兔兔“犯错误”的操作编号。其中第 i 行包含一个整数ai表示兔兔第i 个犯错误的操作是他在游戏中的第 ai次操作。
1 ≤n≤ 40， 1 ≤m≤ 40

Sample Input

样例一：
1 6
XO.OXO
1
1 2
1 1
样例二：
3 3
XOX
O.O
XOX
4
2 3
1 3
1 2
1 1
2 1
3 1
3 2
3 3
样例三：
4 4
OOXX
OXXO
OO.O
XXXO
2
3 2
2 2
1 2
1 3

Sample Output

样例一：
1
1
样例二：
0
样例三：
2
1
2
样例1对应图一中的游戏过程
样例2对应图三中的游戏过程

Sol

最近补了几发博弈论，但都是和sg函数有关的博弈，看到这题就懵了。

后来才知道这个叫二分图博弈......

具体地，这个操作相当于在移动这个空格，我们把空格变成黑色，那么就是按照黑白黑白黑白的顺序走，这好像有点二分图的感觉...

然后我们把合法的点拉出来建四联通的二分图（到起点的曼哈顿距离和它的颜色正好匹配），之后这个博弈其实就是在二分图上跑增广路，而且经过的边不能再次经过，这样的话我们发现，一个点是必胜态当且仅当这个点一定是一个最大匹配包含的点，因为匹配边和连接匹配的边总个数是个奇数。。。只要一直顺着匹配连边走就能赢。。。（对手走的是连接两对匹配的边）否则的话一定是必败态（因为走一步一定走到了一个最大匹配上，假设走不到说明还有新的匹配，与最大匹配矛盾，不成立）。

至于判断一个点是不是最大匹配的必需点，我们把它删掉，从它的原匹配点如果能找到最短路，说明它不是必需点。判断有没有做错是需要判断两个连续的状态是不是都是必胜态。。。

然后好像就完了......

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
char s[45][45];vector<int>e[2500];
int n,m,q,tot,Index,ans,a[45][45],sx,sy,u,v,vis[2500],match[2500],del[2500],win[2500];
bool dfs(int x)
{
	for(int i=0;i<e[x].size();i++)
	{
		if(del[e[x][i]]||vis[e[x][i]]==Index) continue;
		vis[e[x][i]]=Index;
		if(!match[e[x][i]]||dfs(match[e[x][i]])){match[e[x][i]]=x,match[x]=e[x][i];return 1;}
	}
	return 0;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%s",s[i]+1);
	for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) if(s[i][j]=='.'){sx=i,sy=j,s[i][j]='X';break;}
	for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++)
		if((s[i][j]=='O'&&(abs(i-sx)+abs(j-sy))%2==1)||(s[i][j]=='X'&&(abs(i-sx)+abs(j-sy))%2==0)) a[i][j]=++tot;
	for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) if(a[i][j])
	{
		if(a[i-1][j]) e[a[i][j]].push_back(a[i-1][j]);if(a[i+1][j]) e[a[i][j]].push_back(a[i+1][j]);
		if(a[i][j-1]) e[a[i][j]].push_back(a[i][j-1]);if(a[i][j+1]) e[a[i][j]].push_back(a[i][j+1]);
	}
	for(int i=1;i<=tot;i++) if(!match[i]) Index++,dfs(i);
	scanf("%d",&q);q<<=1;
	for(int i=1;i<=q;i++)
	{
		u=a[sx][sy];
		if(match[u]) v=match[u],match[u]=match[v]=0,del[u]=1,Index++,win[i]=!dfs(v);
		else del[u]=1,win[i]=0;
		scanf("%d%d",&sx,&sy);
	}
	for(int i=1;i<=q;i++,i++) if(win[i]&&win[i+1]) ans++;
	printf("%d\n",ans);
	for(int i=1;i<=q;i++,i++) if(win[i]&&win[i+1]) printf("%d\n",(i+1)>>1);
}