【bzoj4007】[JLOI2015]战争调度 暴力+树形dp

Description

脸哥最近来到了一个神奇的王国，王国里的公民每个公民有两个下属或者没有下属，这种

关系刚好组成一个 n 层的完全二叉树。公民 i 的下属是 2 * i 和 2 * i +1。最下层的公民即叶子

节点的公民是平民，平民没有下属，最上层的是国王，中间是各级贵族。现在这个王国爆发了

战争，国王需要决定每一个平民是去种地以供应粮食还是参加战争，每一个贵族（包括国王自

己）是去管理后勤还是领兵打仗。一个平民会对他的所有直系上司有贡献度，若一个平民 i 参

加战争，他的某个直系上司 j 领兵打仗，那么这个平民对上司的作战贡献度为 wij。若一个平民

i 种地，他的某个直系上司 j 管理后勤，那么这个平民对上司的后勤贡献度为 fij，若 i 和 j 所

参加的事务不同，则没有贡献度。为了战争需要保障后勤，国王还要求不多于 m 个平民参加

战争。国王想要使整个王国所有贵族得到的贡献度最大，并把这件事交给了脸哥。但不幸的是，

脸哥还有很多 deadline 没有完成，他只能把这件事又转交给你。你能帮他安排吗？

Input

第一行两个数 n;m。接下来 2^(n-1) 行，每行n-1 个数，第 i 行表示编号为 2^(n-1)-1+ i 的平民对其n-1直系上司的作战贡献度，其中第一个数表示对第一级直系上司，即编号为 (2^(n-1)-1+ i)/2 的贵族的作战贡献度 wij，依次往上。接下来 2^(n-1)行，每行n-1个数，第i行表示编号为 2^(n-1)-1+ i的平民对其n-1个直系上司的后勤贡献度，其中第一个数表示对第一级直系上司，即编号为 (2^(n-1)-1+ i)/2 的贵族的后勤贡献度 fij ，依次往上。

Output

一行一个数表示满足条件的最大贡献值

Sample Input

3 4
503 1082
1271 369
303 1135
749 1289
100 54
837 826
947 699
216 389

Sample Output

6701

HINT

对于 100% 的数据，2 <= n <= 10,m <= 2n 1,0 <= wij ;fij <= 2000

Sol

第一眼：这道题似乎可以树形背包唉，\(f[i][j]\)表示以i为根的子树中有j个点打仗的最大贡献，合并的时候直接枚举俩子树分多少就行啦。

冷静一下发现，因为一个点依赖它的子树所有的点以及它到根的一条链，所以我们不能直接dp（不然题目为啥出成满二叉树），但是满二叉树深度只有10层，所以我们dp一个点的时候，只需要\(2^i\)的复杂度枚举上面的点的选择，然后下面正常合并就可以啦。

代码谁都会写，但是这复杂度看着好玄学……

分析一下，对于深度为i的一层，节点有\(2^i\)个，枚举上面链上点的复杂度是\(2^i\)，子树的点有\(2^{n-i}\)个，合并两个子树的复杂度是\(2^{2n-2i}\)，而枚举上面的复杂度是\(2^i\)，所以每一层的复杂度是\(2^{2n}\)，有n层，所以复杂度是\(n*2^{2n}\)。

细节：dfs到一个点的时候要清空这个点的dp值，因为以前可能因为另一个选法在这个点进行过dp。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,ans,f[1030][1030],w[1030][15],v[1030][15],bin[15];
void dfs(int x,int d)
{
    for(int i=0;i<=1<<d;i++) f[x][i]=0;
    if(!d){for(int i=1;i<=n;i++) if(bin[i]) f[x][1]+=w[x][i];else f[x][0]+=v[x][i];return;}
    bin[d]=0;dfs(x<<1,d-1);dfs(x<<1|1,d-1);
    for(int i=0;i<=1<<(d-1);i++)for(int j=0;j<=1<<(d-1);j++)f[x][i+j]=max(f[x][i+j],f[x<<1][i]+f[x<<1|1][j]);
    bin[d]=1;dfs(x<<1,d-1);dfs(x<<1|1,d-1);
    for(int i=0;i<=1<<(d-1);i++)for(int j=0;j<=1<<(d-1);j++)f[x][i+j]=max(f[x][i+j],f[x<<1][i]+f[x<<1|1][j]);
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);n--;
    for(int i=0;i<(1<<n);i++) for(int j=1;j<=n;j++) scanf("%d",&w[i+(1<<n)][j]);
    for(int i=0;i<(1<<n);i++) for(int j=1;j<=n;j++) scanf("%d",&v[i+(1<<n)][j]);
    dfs(1,n);for(int i=0;i<=m;i++) ans=max(ans,f[1][i]);
    printf("%d\n",ans);
}