【bzoj3309】DZY Loves Math 莫比乌斯反演+线性筛

Description

对于正整数n，定义f(n)为n所含质因子的最大幂指数。例如f(1960)=f(2^3 * 5^1 * 7^2)=3, f(10007)=1, f(1)=0。
给定正整数a,b，求sigma(sigma(f(gcd(i,j)))) (i=1..a, j=1..b)。

Input

第一行一个数T，表示询问数。
接下来T行，每行两个数a,b，表示一个询问。

Output

对于每一个询问，输出一行一个非负整数作为回答。

Sample Input

4
7558588 9653114
6514903 4451211
7425644 1189442
6335198 4957

Sample Output

35793453939901
14225956593420
4332838845846
15400094813

HINT

T<=10000
1<=a,b<=10^7

sol

先推式子，假设a<b，枚举gcd：

\(ans=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}f(i,j)\)

\(=\sum_{d=1}^{a}f(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{a}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{b}{d}\rfloor}[(i,j)=1]\)

\(=\sum_{d=1}^{a}f(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{a}{d}\rfloor}\mu(i)\lfloor\frac{a}{id}\rfloor\lfloor\frac{b}{id}\rfloor\)

\(=\sum_{T=1}^{a}\lfloor\frac{a}{T}\rfloor\lfloor\frac{b}{T}\rfloor\sum_{d|T}f(d)\mu(\frac{T}{d})\)

前面那个玩意直接数论分块就可以了，然后分析后面的式子：

我们只考虑没有平方因子的T/d，那么此时f(d)的取值只有两种：T最高次质因数幂-1或者T最高次质因数幂。

如果取的是最高次质因数幂，那么我们发现，T/d中剩下的数字次数可以是0也可以是1，那么根据莫比乌斯函数的定义，\(\mu(\frac{T}{d})\)一定等于0，不会产生任何贡献。

如果取的是最高次质因数幂-1，那么我们发现，满足最高次幂的指数在T/d中都是1次项，其他数字随意，根据莫比乌斯函数的定义，mu一定是0，不会产生任何贡献。

所以现在只剩下了两种情况：1.质数2.d中所有次幂都相等

线性筛即可，线性筛处理出每个数字最高次质因数幂和最高次质因数幂的乘积，便可以在线性筛中直接判断。

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int g[10000007],a[10000007],pri[10000007],vis[10000007],sum[10000007],ma[10000007],T,n,m,tot;
long long cal(int a,int b)
{
	if(a>b) swap(a,b);
	long long ans=0;
	for(int i=1,last=0;i<=a;i=last+1) last=min(a/(a/i),b/(b/i)),ans+=1ll*(a/i)*(b/i)*(sum[last]-sum[i-1]);
	return ans;
}
int main()
{
	for(int i=2;i<=1e7;i++)
	{
		if(!vis[i]){pri[++tot]=i;g[i]=1,a[i]=1;ma[i]=i;}
		for(int j=1,k;j<=tot&&(k=i*pri[j])<=1e7;j++)
		{
			vis[k]=1;
			if(i%pri[j]==0)
			{
				a[k]=a[i]+1;ma[k]=ma[i]*pri[j];
				if(i==ma[i]) g[k]=1;
				else g[k]=(a[i/ma[i]]==a[k]?-g[i/ma[i]]:0);
			}
			else a[k]=1,ma[k]=pri[j],g[k]=(a[i]==1?-g[i]:0);
		}
		sum[i]=sum[i-1]+g[i];
	}
	for(scanf("%d",&T);T--;printf("%lld\n",cal(n,m))) scanf("%d%d",&n,&m);
}