[CJ NOIP模拟赛] 微小的数学

题目大意

已知 \(n\)、\(s\)、\(d\)，令 \(a_0 = s\)，\(a_n = a_{n-1} + d\)，求 \((\sum_{k=0}^{n} a_k \times C_n^k) \ \%\ 998244353\) 的值。

保证 \(n\)，\(s\)，\(d \le 10^{18}\)。

题目分析

先给出组合数公式 \(C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}\) 。

第一眼看，发现 \(a_n = s + n \times d\) ，唯一比较难搞的是阶乘。递归 \(n \le 10^{18}\) 明显不行，我们猜想，可能通过某个公式可以解决。

膜拜 \(xsl666\) 数论带师考场手玩数论题吊打蒟蒻

这种东西你推到了就非常简单，推不到就挠头ing。

正解

我们先给出一个组合恒等式

\[k \times C_n^k = n \times C_{n-1}^{k-1} \]

根据上式得推论

\[\sum_{k=1}^{n} k \times C_n^k = \sum_{k=1}^{n} n \times C_{n-1}^{k-1} = n \times \sum_{k=1}^{n} C_{n-1}^{k-1} = n \times \sum_{k=0}^{n-1} C_{n-1}^{k} = n \times w^{n-1} \]

再根据 \(a_k = s + k \times d\) 得

\[\sum_{k=0}^{n} a_k \times C_n^k = \sum_{k=0}^{n} (s + kd) \times C_n^k = s \times \sum_{k=0}^n C_n^k + d \times \sum_{k=0}^n k \times C_n^k \]

打表后得到最终答案为

\[s 2^{n} + nd2^{n-1} = (2s+nd)2^{n-1} \]

那么我们只需要用快速幂求 \(2^{n-1}\) 即可。

值得注意的是，在输出时最好把快速幂答案单独存在一个变量中，因为直接调用快速幂函数返回值不知道为什么会少 \(40\) 分。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#include<cctype>
#pragma GCC optimize(2)
#define in(a) a = read()
#define out(a) write(a)
#define outn(a) out(a),putchar('\n')
#define ll long long
#define rg register
using namespace std;
inline ll read()
{
    ll X = 0,w = 0;
	char ch = 0;
	while(!isdigit(ch))
	{
		w |= ch == '-';
		ch=getchar();
	}
    while(isdigit(ch))
	{
		X = (X << 3) + (X << 1) + (ch ^ 48);
		ch = getchar();
	}
    return w ? -X : X;
}
char F[200] ;
inline void write(ll x)
{
	if(x == 0)
	{
		putchar('0');
		return;
	}
	ll tmp = x > 0 ? x : -x;
	int cnt = 0;
	if(x < 0)
		putchar( '-' );
	while(tmp > 0)
	{
		F[cnt++] = tmp % 10 + '0';
		tmp /= 10;
	}
	while(cnt > 0)
		putchar(F[--cnt]) ;
}

const int mod = 998244353;

ll n, s, d;

ll ksm(ll a, ll b)
{
	ll ans = 1;
	while(b)
	{
		if(b & 1)
			ans = ans * a % mod;
		a = a * a % mod;
		b >>= 1; 
	} 
	return ans;
}

int main()
{
	freopen("problem.in","r",stdin);
	freopen("problem.out","w",stdout);
	in(n), in(s), in(d);
	ll p = ksm(2, n-1);
	s %= mod, d %= mod, n %= mod;
	outn( ((s<<1) + n*d%mod) * p%mod);
	return 0;
}