bzoj2431: [HAOI2009]逆序对数列

2431: [HAOI2009]逆序对数列

Description

对于一个数列{ai}，如果有i<j且ai>aj，那么我们称ai与aj为一对逆序对数。若对于任意一个由1~n自然数组成的

数列，可以很容易求出有多少个逆序对数。那么逆序对数为k的这样自然数数列到底有多少个？

Input

第一行为两个整数n，k。

Output

写入一个整数，表示符合条件的数列个数，由于这个数可能很大，你只需输出该数对10000求余数后的结果。

Sample Input

4 1

Sample Output

3

样例说明：
下列3个数列逆序对数都为1；分别是1 2 4 3 ；1 3 2 4 ；2 1 3 4；
100%的数据 n<=1000，k<=1000

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题解：（dp递推+优化）

稍微认真思考一下：

　　假设给你若干个位置，如果把n个数从小到大一个个放进去（可以插入到放好的位置当中），对于当前放入的第i个数来说，它一定比前i-1个数都要大，所以当它在前i-1个位置中选择时，对于选择的任意一个位置都是有后效性的。

　　定义f[i][j]表示用第i个数填（前i-1个位置）了之后，产生j对逆序对的方案数； 

　　那么这时候我们发现，前i-1个数的方案数我们已经得出了，那么对于当前所要求的j对逆序对，我们可以直接从前面继承。每个数i要填时，后效性最少为0（填在最后），最大为i-1（最前面）。为0时我们就可以从f[i-1][j]继承，那么不难发现其他位置比如说填在第i-2个数的后面，就从f[i-1][j-1]继承。

　　所以方程：f[i][j]=f[i][j]=∑f[i-1][j-k]（0<=k<i）

　　其实这样直接做会超时ORZ

　　用个前缀和优化一下就好啦，时间复杂度降为O（n^2）...

 

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#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define mod 10000
using namespace std;
inline int read()
{
    int f=1,x=0;char ch;
    while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0' && ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return f*x;
}
int n,k;
int f[1100][1100];//表示用第i个数填（前i-1个位置）了之后，产生j对逆序对的方案数； 
int main()
{
    n=read();k=read();
    memset(f,0,sizeof(f));
    
    f[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)f[i][0]=1;//产生0个逆序对的方案数仅有一种：上升序列
    
    int sum=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        sum=f[i-1][0];
        for(int j=1;j<=k;j++)
        {
            if(j-i>=0)sum-=f[i-1][j-i];
            sum+=f[i-1][j];
            f[i][j]+=sum;
            f[i][j]+=mod;
            if(f[i][j]>=mod)f[i][j]%=mod;
        }
    }
    
    printf("%d\n",f[n][k]);//输出填完n个数之后产生k个逆序对的方案数 
    return 0;
}