[矩阵求逆+二分图匹配]BZOJ 3168 [Heoi2013]钙铁锌硒维生素

题目梗概

给出两个\(n*n\)的矩阵\(A,B\),将\(A,B\)中的向量进行匹配,使得\(A\)的任意向量被匹配的向量替换后,\(A\)仍线性无关,求字典序最小解,保证初始时\(A\)线性无关.

解题思路

因为\(A\)是\(n\)维空间中的极大线性无关,所以\(A\)是\(n\)维空间的一组基,\(B\)中的任意向量可以用\(A\)的组合表示.

然后有一个结论就是如果\(B\)中的向量\(i\)能替换\(A\)中的向量\(j\),那么用\(A\)表示\(i\)的时候\(j\)的系数不为\(0\).

感觉比较显然...于是设系数矩阵\(C\),有\(C*A=B\),\(C=B*A^{-1}\).

关于矩阵求逆:在把\(A\)消成单位矩阵的时候,对一个单位矩阵进行同样的初等变换.

然后\(C\)的转置显然就是邻接矩阵.

一些细节:字典序最小的求法就是先刷一遍匈牙利然后贪心的修正一遍,因为我们只关心\(C\)中元素是否为零,所以用任意的一个质数在矩阵求逆的时候进行取模就行.

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
const int maxn=305,tt=1e9+7,maxm=90005;
int n,f[maxn],ans[maxn];
bool vis[maxn];
int qsm(int w,int b){int num=1;while(b){if (b&1) num=(LL)num*w%tt;w=(LL)w*w%tt;b>>=1;}return num;}
int a[maxn][maxn],b[maxn][maxn],c[maxn][maxn];
void mul(int c[][maxn],int a[][maxn],int b[][maxn]){
	for (int i=1;i<=n;i++)
	for (int j=1;j<=n;j++){
		c[i][j]=0;for (int k=1;k<=n;k++) (c[i][j]+=(LL)a[i][k]*b[k][j]%tt)%=tt;
	}
}
void get_INV(){
	for (int i=1;i<=n;i++){
		if (!a[i][i]) for (int j=i+1;j<=n;j++) if (a[j][i]) swap(a[i],a[j]),swap(c[i],c[j]);
		int w=qsm(a[i][i],tt-2);for (int j=1;j<=n;j++) a[i][j]=(LL)a[i][j]*w%tt,c[i][j]=(LL)c[i][j]*w%tt;
		for (int j=1;j<=n;j++) if (a[j][i]&&i!=j){
			w=a[j][i];for (int k=1;k<=n;k++) a[j][k]=(a[j][k]-(LL)a[i][k]*w%tt+tt)%tt,c[j][k]=(c[j][k]-(LL)c[i][k]*w%tt+tt)%tt;
		}
	}
}
bool find(int x){
	for (int i=1;i<=n;i++) if (a[i][x]&&!vis[i]){
		vis[i]=1;
		if (!f[i]||find(f[i])){
			f[i]=x;return 1;
		}
	} 
	return 0;
}
bool work(int x,int fa){
	for (int i=1;i<=n;i++) if (a[i][x]&&!vis[i]){
		vis[i]=1;
		if (f[i]==fa||(f[i]>fa&&work(f[i],fa))){
			f[i]=x;return 1;
		}
	}
	return 0;
}
int main(){
	freopen("exam.in","r",stdin);
	freopen("exam.out","w",stdout);
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n;i++) for (int j=1;j<=n;j++) scanf("%d",&a[i][j]);
	for (int i=1;i<=n;i++) for (int j=1;j<=n;j++) scanf("%d",&b[i][j]);
	for (int i=1;i<=n;i++) c[i][i]=1;get_INV();mul(a,b,c);
	for (int i=1;i<=n;i++){
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		if (!find(i)){printf("NIE\n");return 0;}
	}
	for (int i=1;i<=n;i++){
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		work(i,i);
	}
	for (int i=1;i<=n;i++) ans[f[i]]=i;
	printf("TAK\n");for (int i=1;i<=n;i++) printf("%d\n",ans[i]);
	return 0;
}