Hall定理学习笔记

Hall定理学习笔记

基本定义

现有二分图，其有两个点集X、Y，令|X|<|Y|
对于任意的点集 s \(\in\) X，设 t为 s 与 Y 有连边的点的集合，满足 |s|<=|t|。
这是该二分图有完美匹配的充要条件

证明

必要性

假如一个二分图G存在完美匹配，且不满足Hall定理。
那么对于某k个点，它们连向的都不足k个点。
那么它们是怎么都被匹配上的？？？
很显然必要性正确。

充分性

假如一个二分图G不存在完美匹配，且满足Hall定理。
那么假如有一种最大匹配的方案，既然不存在完美匹配，可以找到至少一个未被匹配的点。
因为这个二分图满足Hall定理，所以这个点一定连向了至少一个点。
假如这个点不在最大匹配中，它们就匹配了，怎么可能呢？？？
那么这个点在最大匹配中！所以一定有一个点和它匹配了。
因为这个二分图满足Hall定理，所以这个点又一定连向了除它匹配的点外的至少一个点。
假如这个点不在最大匹配中，一条增广路找到了，怎么可能呢？？？
那么这个点在最大匹配中！所以……
看懂了吧！我们一定能推出矛盾！
所以充分性正确。

大多数内容参考自https://blog.csdn.net/WerKeyTom_FTD/article/details/65658944