CF185D
题意
\(T\) 组询问，每次给定 \(k,l,r,p\)，求 \(\text{lcm}(k^{2^l}+1,k^{2^{l+1}}+1,\cdots,k^{2^r}+1)\bmod p\)。
\(1\leqslant T\leqslant 10^5,1\leqslant k\leqslant 10^6,0\leqslant l\leqslant r\leqslant 10^{18},2\leqslant p\leqslant 10^9\)，保证 \(p\) 是质数。
分析
小清新数论题。
我们简单猜个结论，任意两个数的 \(\gcd\) 都不会很大。取任意两个位置 \(a,b(a<b)\)，设 \(\gcd(k^{2^a}+1,k^{2^b}+1)=d\)：
\[k^{2^a}\equiv k^{2^b}\equiv -1\pmod d\\1\equiv(-1)^{2^{b-a}}\equiv (k^{2^{a}})^{2^{b-a}}\equiv k^{2^b}\equiv -1\pmod d
\]
于是 \(d=1\) 或 \(2\)，且 \(d=2\) 当且仅当 \(k\) 为奇数。
设 \(t=\prod_{i=l}^r(k^{2^t}+1)\)，那么答案就是：
\[\begin{cases}\frac{t}{2^{r-l}}&k\equiv1\pmod 2\\t&k\equiv 0\pmod 2\end{cases}
\]
那么我们转求 \(t\) 的值，考虑直接推式子：
\[(k^{2^l}+1)((k^{2^l})^2+1)((k^{2^l})^4+1)\cdots((k^{2^l})^{2^{r-l}}+1)\\=\sum_{p=0}^{2^{r-l+1}-1}(k^{2^l})^p=\frac{(k^{2^l})^{2^{r-l+1}}-1}{k^{2^l}-1}=\frac{k^{2^{r+1}}-1}{k^{2^l}-1}
\]
然后直接算就好了，注意特判 \(k^{2^l}\equiv 1\pmod p\) 的情况，此时上式的值为：
\[(1+1)(1^2+1)(1^4+1)\cdots(1^{2^{r-l}}+1)=2^{r-l+1}
\]
代码
#include<stdio.h>
int T,k,p;
long long l,r;
int ksm(int a,long long b,int mod){
int res=1;
while(b){
if(b&1)
res=1ll*res*a%mod;
a=1ll*a*a%mod,b>>=1;
}``
return res;
}
int f(long long x){
return k%p==0? 0:ksm(k,ksm(2,x,p-1),p);
}
int main(){
scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%d%lld%lld%d",&k,&l,&r,&p);
if(p==2)
printf("%d\n",(k&1)^1);
else{
int ans=(f(l)==1? ksm(2,r-l+1,p):(1ll*(f(r+1)-1+p)%p*ksm((f(l)-1+p)%p,p-2,p)%p));
if(k&1)
ans=1ll*ans*ksm(ksm(2,r-l,p),p-2,p)%p;
printf("%d\n",ans);
}
}
return 0;
}
