Bezier Patch

   

当前大多数图形引擎所支持的渲染原子图元为三角形。不过我们也知道，在建模软件之中，对象和动画很多使用曲线和曲面来描述的，通过输出为三角形的模型数据，最终被这些引擎读取并渲染出来。曲线和曲面较之于三角形数据而言，有以下4个方面的优点：

       1、更为精确的表示；

       2、可扩展的几何图元；

       3、更为光顺和连续的图元；

       4、动画和碰撞检测会更快更简单。

       参数化的曲面之中，常见的一种是Bezier Patches。以Bernstein形式表达如下：

p(u, v) = ∑^m_i=0∑ⁿ_j=0 B^m_i(u) Bⁿ_j(v) p_i,j

              还可以写为：

p(u, v) = ∑^m_i=0B^m_i(u) q_i(v)

       其中

q_i(v) = ∑ⁿ_j=0 Bⁿ_j(v) p_i,j；

       很明显，第二种写法就是Bezier曲线的表达式。它的意义是什么呢？我们可以这样理解：

曲面上任意一点都在某些Bezier曲线上，而所有这些曲线最终就形成了整个曲面。当v固定时，q_i(v)就是某条Bezier曲线的控制点，这些控制点就是原始某些控制点（p_i,j）形成的Bezier曲线上的点，通过上述公式可以计算出来。当u从0～1，我们就可以得到整条曲线。

OpenGL提供了对Bezier曲线曲面的支持，同时能够自动生成其法向量和纹理坐标。按照上述思路，我们也可以自己建立Bezier Patches的模型，自己三角化，自己设定法向量和纹理坐标进行渲染，同时可以进行更多的控制。

根据对第二种形式的分析，我们可以先对v方向进行离散，计算出对应v的所有控制点，然后对于u进行离散，以这些控制点计算出每一个点。所有这些点最终构成Bezier Patch。关于法向量的计算，有其自己的计算公式，就是uv方向的2个偏导的叉乘。不过这里可以根据三角形mesh近似计算。左图为环境映射，右图为wireframe方式显示。