2024.1.5 闲话

歌：インターネットこわい - ガール feat. 初音ミク + 重音テト .

还是把多项式模复合封禁了吧，AT 这帮人真魔怔。。

ABC387G Prime Circuit

求 \(n\) 个点，每个回路（不能经过重复边）长度都是质数的有标号无向连通图个数。

快进到答案：

\[[x^n]F(x)\text{ where }F(x)=G(x\exp F(x)),\,G(x)=x+\sum_{p\ge 3\land p\text{ is prime}}\dfrac{x^p}2 \]

容易发现 \(x\exp F(x)\) 的复合逆是 \(\dfrac{x}{\exp G(x)}\)，根据另类 Lagrange 反演：

\[\begin{aligned}{}[x^n]G(x\exp F(x))&=[x^n]G(x)\left(\dfrac x{\exp G(x)}\right)'\left(\exp G(x)\right)^{n+1}\\&=[x^n]G(x)(\exp G(x))^n(1-xG'(x))\end{aligned} \]

然而并没有什么用，\(\Theta(\mathsf M(n))\) 求单点跑路，不过至少比官方题解的 \(\Theta(\mathsf M(n)\log n)\) 好 .

友情链接：5k_sync_closer 的题解 .