2024.12.30 闲话

\(q\)-二项式定理：\(\displaystyle\prod_{i=0}^{n-1}(1+q^iz)=\sum_{i=0}^nq^{i(i-1)/2}\dbinom ni_qz^i\) .

\(q\)-Pochhammer \(\displaystyle(a:q)_n=\prod_{i=0}^{n-1}(1-aq^i)\) .

对比可以发现 \(q\)-Pochhammer 和 \(q\)-二项式定理明显有着千丝万缕的联系（

那么可以这样写：

\[\displaystyle(a:q)_n=\sum_{i=0}^n(-1)^iq^{i(i-1)/2}\dbinom ni_qa^i \]

K 逆序对排列计数

给定 \(n,k\)，计数有 \(k\) 个逆序对的长度为 \(n\) 的排列 .

无非就是要计算：

\[[q^k]\sum_{\pi\in S(n)}q^{\operatorname{inv}(\pi)}=[q^k]([n]!_q)=[z^k]\prod_{i=1}^n\dfrac{1-z^i}{1-z} \]

可以考虑计算 \(\displaystyle\prod_{i=1}^n(1-z^i)\) 然后卷 \(\dfrac1{(1-z)^n}\) .

发现一个问题：

\[\prod_{i=1}^n(1-z^i)=(-z:z)_n=\sum_{i=0}^n(-1)^iz^{i(i+1)/2}\dbinom ni_z \]

可以递推出前 \(\sqrt k\) 项截断在 \(z^k\) 以下的系数，总复杂度 \(O(k\sqrt k)\) .

\(q\)-Pochhammer

给定 \(a,q,n\)，计算 \((a:q)_n\bmod 998244353\) .

\(q\) 在模 \(998244353\) 意义下不等于 \(1\) .

由于某些原因可能需要先特判 \(q\bmod998244353=0\) 或 \(a\bmod998244353=0\) .

根据快速阶乘算法的经验，令块长为 \(B\)，只需计算：

\[f(x)=\prod_{i=1}^B(1-q^ix) \]

在 \(a,a\cdot q^B,a\cdot q^{2B},\cdots\) 处的点值 .

然而 \(f\) 的系数可以通过 \(q\)-二项式定理 \(O(B)\) 递推得到（参考上一个题目），接下来可以使用 CZT 来求点值 .

怎么用 CZT

问题：对于多项式 \(F\) 对于每个 \(i\) 计算 \(F(cq^i)\) .

最迅速的做法：首先计算 \(F(cx)\)，然后就可以直接调用传统 CZT 了 .

平衡一下最后时间复杂度为 \(O(\sqrt n\log n)\)（然而这里直接 ln-exp 求 \(f\) 也是一样快的）.

例题：哈希杀手，Fibonacci Product .

可能后面再稍微学习一下 \(q\)-analog 的理论，感觉还是挺有趣味的 . 然而 12 月有 31 天！