2024.12.22 闲话

歌：ラストクレージーイマジナリー - _Ryammmer feat. 初音ミク .

DFT 矩阵的特征值怎么求？（详细揭秘）

本来是题的，结果组不明白了，潜逃了 .

首先 DFT 是线性变换，那么设序列 \(A\) 对应的列向量为 \(\bm a\)，则存在矩阵 \(\mathcal F\) 使得 \(\operatorname{DFT}(A)=\mathcal F\bm a\)，具体地：

\[\mathcal F=\begin{bmatrix}1&1&\cdots&1\\1&\omega&\cdots&\omega^{n-1}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&\omega^{n-1}&\cdots&\omega^{(n-1)^2}\end{bmatrix} \]

若 \(d\operatorname{DFT}(A)=A\)，则 \(\mathcal F\bm a=\frac1d\bm a\)。也即 \(\lambda=\frac1d\) 是 \(\mathcal F\) 的一个特征值，\(\bm a\) 则是对应的某个特征向量。

令 \(\mathcal G=\frac1{\sqrt{n}}\mathcal F\)，那么由单位根反演可以注意到：

\[\mathcal G^2=\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots&0\\0&0&0&\cdots&1\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&1&\cdots&0\\0&1&0&\cdots&0\end{bmatrix} \]

从而 \(\mathcal G\) 的幂有长为 \(4\) 的循环节：\(\mathcal G^{4k}=I,\,\mathcal G^{4k+1}=\mathcal G,\,\mathcal G^{4k+2}=\mathcal G^2,\,\mathcal G^{4k+3}=\mathcal G^{\sf H}\)，其中 \(A^{\sf H}\) 是 \(A\) 的共轭转置。

根据二次高斯和的结论可以注意到 \(\mathcal G\) 的迹：

\[\operatorname{trace}(\mathcal G)=\dfrac1{\sqrt n}\sum_{i=0}^{n-1}\omega^{i^2}=\dfrac{(1+\mathrm i)(1+(-\mathrm i)^n)}2 \]

从而通过讨论 \(t\bmod 4\) 可以发现：

\[\operatorname{trace}(\mathcal G^t)=1+\sum_{k=2}^{n}(-\mathrm i)^{kt} \]

根据特征值的 \(k\) 次方和等于矩阵 \(k\) 次方的迹可得，\(\mathcal G\) 的特征值分别为 \(1,(-\mathrm i)^2,(-\mathrm i)^3,\cdots,(-\mathrm i)^n\)。

从而可以知道 \(\mathcal G\) 有特征值 \(1,-1,\mathrm i,-\mathrm i\)，且重数分别为 \(\lfloor\frac{n+4}4\rfloor\lfloor\frac{n+2}4\rfloor\lfloor\frac{n+1}4\rfloor\lfloor\frac{n-1}4\rfloor\)。进而可以导出 \(\mathcal F\) 的特征值和它的重数。

结论：\(\mathcal F\) 的每个特征值 \(\lambda\) 和其对应的重数：

\(\lambda\)	\(n-\operatorname{rank}(\lambda I-\mathcal F)\)
\(\sqrt n\)	\(\lfloor\frac{n+4}4\rfloor\)
\(-\sqrt n\)	\(\lfloor\frac{n+2}4\rfloor\)
\(\mathrm i\sqrt n\)	\(\lfloor\frac{n+1}4\rfloor\)
\(-\mathrm i\sqrt n\)	\(\lfloor\frac{n-1}4\rfloor\)

值得注意的是，由于某些显而易见的原因 \(\mathcal F\) 是可对角化的于是几何重数等于代数重数 .

图