2024.12.23 闲话

（通过北京集训）学习了一下符号化容斥的思路，大致记叙一下 .

upd. 其实好像就是序列上的所谓集合划分容斥，在集合上的问题只需要把形式幂级数换成集合幂级数 .

前置知识：浅谈多项式与生成函数、符号化方法 .

记号约定：花体字母表示无标号组合类：$\mathcal F,\mathcal G$，带帽子的花体字母表示有标号组合类：$\mathcal{\hat F},\mathcal{\hat G}$，同一个题目中相同字母表示的组合类是对应的（尽管标号结构可能不一样） .

容斥原理的基本思路大概是这样的：有一个基本单位的组合类 $\mathcal F$，要求它在某种限制下的组合 $\operatorname{COMB}_{\sf R}(\mathcal G)$ .

考虑扩充组合类 $\mathcal F^{\bullet}=\mathcal F+\mathcal I$，使得 $\mathcal F^{\bullet}$ 和 $\mathcal F$ 在 $\text{COMB}$ 下所生成的组合对象的种类是一样的（尽管方案数可能并不相同）. 同时通过构造 $\mathcal F^{\bullet}$ 上每个元素对应的贡献（即容斥系数）来使得 $\operatorname{COMB}_{\sf R}(\mathcal F)=\operatorname{COMB}(\mathcal F^{\bullet})$，从而去掉 $\sf R$ 的限制 .

00-avoiding 序列

计数 $[0,m]$ 上的长度为 $n$ 的整数序列，使得不出现两个连续的 $0$ .

如果没有不出现两个连续的 $0$ 的限制，只需令一位的组合类是 $\mathcal D$，答案即为 $\operatorname{SEQ}(\mathcal D)$ .

考虑加入若干组合对象 $P_k$：连续 $k$ 个 $0$ 组成的序列 . 上述组合对象构成组合类 $\mathcal P$ . 现在对于 $\mathcal D^{\bullet}=\mathcal D+\mathcal P$ 考察 $\operatorname{SEQ}(\mathcal D^{\bullet})$ . 后令 $\mathcal L$ 是合法 $0$ 段长的组合类 .

可以把 $\mathcal D^{\bullet}$ 分成 $\mathcal D-\{P_1\}$ 和 $\mathcal P$ 两部分 . 对于一段 $P_k$ 来说，在 $\operatorname{SEQ}(\mathcal D^{\bullet})$ 中只可能由 $\operatorname{SEQ}_{=k}(\mathcal P)$ 或 $\mathcal D^k$ 得到，考虑对 $\mathcal P$ 上的元素构造容斥系数，使得 $\operatorname{SEQ}_{=k}(\mathcal P)=\mathcal L_{=k}$，那么其实也就相当于是 $\operatorname{SEQ}(\mathcal P)=\mathcal L$ .

令 $\mathcal P$ 对应的生成函数是 $p(x)$，则需要 $\dfrac1{1-p(x)}=1+x$，可得 $p(x)=\dfrac x{1+x}$ .

从而可以得到 $\mathcal D^{\bullet}$ 的生成函数 $F(x)=m\cdot x+\dfrac{x}{1+x}$（左边 $m\cdot x$ 是 $\mathcal D-\{P_1\}$ 的生成函数）.

那么答案就是 $\operatorname{SEQ}(\mathcal D^{\bullet})$，其生成函数也容易得到了：$\dfrac1{1-F(x)}=\dfrac{1+x}{1-mx+mx^2}$ .

Yet Another Permutation Problem

对于长度为 $n$ 的排列 $\pi=\langle1,2,\cdots,n\rangle$，执行不超过 $k$ 次操作：选出其中的一个数并放到排列的开头或结尾 .

对每个 $k$ 求出：操作过后可能得到的排列个数 .

数据范围：$n\le 1000$ .

对于这道题，可能我们更熟知的是它同时被称为 Jiangly 的排列数数题 . 总之经过一些转换可以把问题转化为对每个 $k$ 求最长连续上升段 $<k$ 的排列个数 .

先考虑如果没有限制怎么做，在此处使用有标号组合体系，一位的生成函数是 $\mathcal{\hat D}$，则答案为 $\operatorname{SEQ}(\mathcal{\hat D})$ .

然后类似地考虑扩充组合类，根据先前的经验自然发现需要把上升段扩充进去，令 $P_k$ 表示长度为 $k$ 的上升段对应的组合对象，其对应的组合类为 $\mathcal{\hat P}$（由于 $\mathcal{\hat D}\subseteq\mathcal{\hat P}$ 所以这里 $\mathcal{\hat P}$ 也是扩充后的组合类）.

令合法段的组合类为 $\mathcal I$，这里合法段是没有容斥系数的，需要对 $\mathcal P$ 设计容斥系数 . 把一些连续段拼起来得到新的连续段的操作实际上对应 $\text{SEQ}$ 变换，于是可以得到 $\operatorname{SEQ}(\mathcal P)=\mathcal I+\mathcal E$，进而可导出普通生成函数 $p(x)=\dfrac{x-x^k}{1-x^k}$ .

那么欲求即为 $\operatorname{SEQ}(\mathcal{\hat P})$，这里需要一个 $\text{OGF}\to\text{EGF}$ 的变换，可以手动提取一下：

$$p(x)=\sum_{j\ge0}\left(x^{jk+1}+x^{(j+1)k}\right)\qquad\hat p(x)=\sum_{j\ge0}\left(\dfrac{x^{jk+1}}{(jk+1)!}+\dfrac{x^{(j+1)k}}{((j+1)k)!}\right)$$

这样就可以进行计算了 . 由于 $\hat p(x)$ 只有 $\Theta(n/k)$ 项，所以暴力的时间复杂度就是 $\Theta (n^2\log n)$，可以通过 .

进一步的复杂度优化可以参阅开头提到的 EI 的博客 .

Yet Another ABC String

给定 $a,b,c$，问分别由 $a,b,c$ 个 $\texttt A\;\texttt B\;\texttt C$ 组成的不存在子串 $\texttt{ABC}\;\,\texttt{BCA}\;\,\texttt{CAB}$ 的字符串数量 .

数据范围：$a,b,c\le 10^6$ .

假设经过上面两个题我们已经比较熟练了，重复的过程就不详细展开了 .

扩充组合类为 $\mathcal P$，那么需要 $\operatorname{SEQ}(\mathcal P)=1+x+x^2$，这就是 $p(x)=\dfrac{x+x^2}{1+x+x^2}$ .

$a,b,c$ 作为普通生成函数的三个元分别计量 $\texttt A\;\texttt B\;\texttt C$ 数量，转回原题代入容斥系数，一段的生成函数：

$$F(a,b,c)=a+b+c-\dfrac{abc}{1-abc}(3-a-b-c)$$

答案即为 $\dfrac1{1-F(a,b,c)}$ .

作换元 $u=abc,\,v=1-a-b-c$，则：

$$\dfrac1{1-F}=\dfrac1{v+\frac u{1-u}(2+v)}=\dfrac{1-u}{v+2u}=\dfrac{1-u}v\cdot\dfrac1{1+\frac{2u}s}$$

把后面的有理分式展开后转为提取若干个 $\frac{1-u}v(1+\frac{2u}s)^k$，这是简单的 . 从而问题被 $\Theta(a+b+c)$ 解决 .