2024.11.22 闲话

1122！

歌：始まりの0ページ - Ponchi♪ feat.初音ミク .

对于正整数 $c_1, c_2, P, Q$，定义：

$$\begin{aligned}&A_{n,m}=A_{n,m-1}+P\cdot A_{n-1,m-1}+Q\cdot B_{n-1,m-1}\\&B_{n,m}=B_{n,m-1}+A_{n-1,m-1}\end{aligned}$$

其中对于 $n>0$，$A_{1,n}=c_2\cdot n,\,B_{1,n}=c_1\cdot n$；对于 $n\ge 0$，$A_{n,0}=B_{n,0}=0$ .

定义：

$$R_n=P\cdot R_{n-1}+Q\cdot R_{n-2}$$

其中 $R_0=c_1,\,R_1=c_2$ .

证明：

$$A_{n,m}-A_{n,m-1}+B_{n+1,m}-B_{n+1,m-1}=\dbinom mnR_n$$

首先可以按行刻画 $A,B$ 的 OGF 然后解二阶常系数齐次线性递推代入来暴力验证这个式子，不多说了 .

不过其实这里有一个组合意义，简要概括：考虑 $A,B$ 在行上的差分 $a,b$，有转移：

$$\begin{aligned}&a_{n,m}=\sum_iP\cdot a_{n-1,m-i}+Q\cdot b_{n-1,m-i}\\&b_{n,m}=\sum_i a_{n-1,m-i}\end{aligned}$$

其中对于 $n>0$ 有 $a_{1,n}=c_2,\,b_{1,n}=c_1$ .

考虑一个长度为 $m$ 的环，在上面划分 $n$ 个连续段的权值是 $R_n$，要求所有划分为 $n$ 个段的权值和 . 在序列上看每次转移末尾的一段然后讨论末尾和开头是否划分在同一段即可（这里 $a,b$ 分别表示不在/在同一段的答案）.

最后统计答案的时候还要讨论一次开头和结尾是否在同一段，总之就可以得到原命题那个式子 .

其实感觉这个式子形式上还是挺好玩儿的，还带个组合数 .

图