2024.11.18 闲话

才反应过来这个能发。。可以期待一下其它还没公开的闲话（

[这里有一段被删除的内容！DELETED]

歌：テトリス - 柊マグネタイト feat. 重音テトSV（我要打块aaa）

回顾 2024.10.17 闲话，考察一下其中的内涵 . 有证据表明循环矩阵和 DFT 之间可能存在着千丝万缕的联系（

对于长为 \(n\) 的向量 \(\bm x\)，定义由其生成的循环矩阵：

\[C(\bm x)=\begin{bmatrix}\bm x_1&\bm x_2&\cdots&\bm x_{n-1}&\bm x_n\\\bm x_2&\bm x_3&\cdots&\bm x_n&\bm x_1\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\\bm x_n&\bm x_1&\cdots&\bm x_{n-2}&\bm x_{n-1}\\\end{bmatrix} \]

断言：

循环矩阵可被 DFT 矩阵对角化

\[C(\bm x)=\mathcal F\cdot\diag(\DFT(\bm x))\cdot\mathcal F^{\sf H} \]
其中 \(\mathcal F\) 是一个酉矩阵：

\[\mathcal F=\dfrac1{\sqrt n}\begin{bmatrix}1&1&\cdots&1\\1&\omega&\cdots&\omega^{n-1}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&\omega^{n-1}&\cdots&\omega^{(n-1)^2}\end{bmatrix} \]
（注：这个结论好像更高维也对但是在 OI 中不重要）

证明只需要大力代入就可以了，不再详细展开 .

来看一些应用：

循环矩阵乘向量 给循环矩阵 \(C(\bm x)\) 和列向量 \(\bm v\)，求 \(C(\bm x)\bm v\)：

\[C(\bm x)\bm v=\mathcal F\cdot\diag(\DFT(\bm x))\cdot\mathcal F^{\sf H}\cdot\bm v=C(\bm x^{\sf R}*\bm v) \]

其中 \(\bm x^{\sf R}\) 是 \(\bm x\) 的逆序，\(*\) 是卷积 .

循环矩阵乘法 给循环矩阵 \(C(\bm x)\) 和 \(C(\bm y)\)，求 \(C(\bm x)C(\bm y)\)：

\[C(\bm x)C(\bm y)=\mathcal F\cdot\diag(\DFT(\bm x)\odot\DFT(\bm y))\cdot\mathcal F^{\sf H}=C(\bm x*\bm y) \]

其中 \(\odot\) 是 Hadamard 积（即按位相乘）.

循环矩阵求逆 给循环矩阵 \(C(\bm x)\)，求 \(C(\bm x)^{-1}\)：

\[C(\bm x)^{-1}=\mathcal F\cdot\diag(\DFT(\bm x))^{-1}\cdot\mathcal F^{\sf H}=C(\DFT^{-1}(\DFT(\bm x)^{-1})) \]

其中 \(\bm x^{-1}\) 是向量 \(\bm x\) 按位求逆 .

循环矩阵行列式 给循环矩阵 \(C(\bm x)\)，求 \(\det(C(\bm x))\)：