2024.10.28 闲话

歌：ネバーランド - DECO*27 feat. 初音ミク .

这个水平真太可以了 .

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问题：将排列 \(2,3,4,\cdots,n,1\) 以最少的操作次数排序，其中每次可以交换任意两个数 . 问方案数 .

举报蓝书写的式子不对

大概就是每次交换必然分裂置换环，可以导出答案的递推式：

\[a_n=\dfrac n2\sum_{i=1}^{n-1}\dbinom{n-2}{i-1}a_ia_{n-i} \]

把 \((i,n-i)\) 看成无序对，那么相当于只有 \(i=n-i\) 的位置乘 \(\frac n2\) 别的位置都乘 \(n\) .

然后可以发现 \(a_n\) 实际上也可以说是在数有标号无根树个数，因为此处相当于枚举一条边断开递归处理 . 从而立得 \(a_n=n^{n-2}\) . 就这个双射爽

然后如果想做任意排列就每个置换环分别做然后合并就可以了 .

图

影响非常大，就好像电棍失去了他的母亲，电棍是我们班的同学，后面忘了 .