2024.10.24 闲话

膜拜周指导 joke3579！！

歌：冷凍びぃむ - 一二三 feat. 初音ミク .

BJOI2014 想法

给一张 DAG $G=(V,E)$ ，求每个点能到达的节点个数，允许相对误差 $\varepsilon=\frac14$ .

数据范围： $|V|\le10^5$ ， $|E|\le10^6$ .

做法：熟知 $k$ 个 $[0,1]$ 内的均匀随机数最小值的期望为 $\frac1{k+1}$ . 那么随机 $N=\varepsilon^2$ 轮每轮给每个点一个随机数求最小值的平均值，最后按 $\frac1{k+1}$ 倒着推回答案 . 时间复杂度 $O((|V|+|E|)\varepsilon^{-2})$ .

证明：

Lemma

考虑一个 $[A,B]$ 内的随机数生成器，期望为 $E_0$ ，方差为 $\sigma^2$ . 则随机 $N$ 次得到的平均值 $E$ 与 $E_0$ 的绝对误差 $\delta=|E-E_0|$ 几乎一定满足 $\delta<O(\sigma N^{-\frac12})$ .

证明：直接使用 Hoeffding 不等式：

\begin{aligned} P (δ > c \cdot δ N^{- \frac{1}{2}}) & = P (δ N > c \cdot δ N^{\frac{1}{2}}) \\ \leq 2 \exp (- \frac{2 (c - 1)^{2} σ^{2} N}{N (B - A)^{2}}) \\ = 2 \exp (- 2 (c - 1)^{2} \frac{σ^{2}}{(B - A)^{2}}) \end{aligned}

$\begin{aligned}\mathbb P(\delta >c\cdot \delta N^{-\frac 12})&=\mathbb P(\delta N>c\cdot \delta N^{\frac 12})\\&\le2\exp\left(-\dfrac{2(c-1)^2\sigma^2N}{N(B-A)^2}\right)\\&=2\exp\left(-2(c-1)^2\dfrac{\sigma^2}{(B-A)^2}\right)\end{aligned}$

与 $n$ 无关且随 $c$ 增大指数级缩小 . 证毕 .

回到原题，首先回忆一下 $k$ 个 $[0,1]$ 内均匀随机数最小值期望的算法，知道 CDF 是 $1-(1-x)^k$ ，那么有：

\int_{0}^{1} (1 - x)^{k} d x = \frac{1}{k + 1}

$\int_0^1(1-x)^k\mathrm dx=\dfrac1{k+1}$

那么可以类似算一下方差 . 下面 $M$ 是 $k$ 个数最小值的随机变量：

\begin{aligned} σ^{2} & = E ({(M - \frac{1}{k + 1})}^{2}) \\ = E (M^{2} - \frac{2 M}{k + 1} + \frac{1}{(k + 1)^{2}}) \\ = \int_{0}^{1} (1 - \sqrt{x})^{k} d x - \frac{2 \frac{1}{k + 1}}{k + 1} + \frac{1}{(k + 1)^{2}} \\ = \frac{2}{k^{2} + 3 k + 2} - \frac{1}{(k + 1)^{2}} \\ = \frac{k}{(k + 1)^{2} (k + 2)} \end{aligned}

$\begin{aligned}\sigma^2&=\mathbb E\left(\left(M-\dfrac1{k+1}\right)^2\right)\\&=\mathbb E\left(M^2-\dfrac{2M}{k+1}+\dfrac1{(k+1)^2}\right)\\&=\int_0^1(1-\sqrt x)^k\mathrm dx-\dfrac{2\frac1{k+1}}{k+1}+\dfrac1{(k+1)^2}\\&=\dfrac2{k^2+3k+2}-\dfrac1{(k+1)^2}\\&=\dfrac k{(k+1)^2(k+2)}\end{aligned}$

那么可以知道 $\sigma=\Theta(k^{-1})$ ，使用 Lemma 可以知道 $|\delta|:\!=|M-\frac1{k+1}|<O(k^{-1}N^{-\frac12})$ 几乎一定成立 .