2024.10.24 闲话

膜拜周指导 joke3579！！

歌：冷凍びぃむ - 一二三 feat. 初音ミク .

BJOI2014 想法

给一张 DAG \(G=(V,E)\)，求每个点能到达的节点个数，允许相对误差 \(\varepsilon=\frac14\) .

数据范围：\(|V|\le10^5\)，\(|E|\le10^6\) .

做法：熟知 \(k\) 个 \([0,1]\) 内的均匀随机数最小值的期望为 \(\frac1{k+1}\) . 那么随机 \(N=\varepsilon^2\) 轮每轮给每个点一个随机数求最小值的平均值，最后按 \(\frac1{k+1}\) 倒着推回答案 . 时间复杂度 \(O((|V|+|E|)\varepsilon^{-2})\) .

证明：

Lemma

考虑一个 \([A,B]\) 内的随机数生成器，期望为 \(E_0\)，方差为 \(\sigma^2\) . 则随机 \(N\) 次得到的平均值 \(E\) 与 \(E_0\) 的绝对误差 \(\delta=|E-E_0|\) 几乎一定满足 \(\delta<O(\sigma N^{-\frac12})\) .

证明：直接使用 Hoeffding 不等式：

\[\begin{aligned}\mathbb P(\delta >c\cdot \delta N^{-\frac 12})&=\mathbb P(\delta N>c\cdot \delta N^{\frac 12})\\&\le2\exp\left(-\dfrac{2(c-1)^2\sigma^2N}{N(B-A)^2}\right)\\&=2\exp\left(-2(c-1)^2\dfrac{\sigma^2}{(B-A)^2}\right)\end{aligned} \]

与 \(n\) 无关且随 \(c\) 增大指数级缩小 . 证毕 .

回到原题，首先回忆一下 \(k\) 个 \([0,1]\) 内均匀随机数最小值期望的算法，知道 CDF 是 \(1-(1-x)^k\)，那么有：

\[\int_0^1(1-x)^k\mathrm dx=\dfrac1{k+1} \]

那么可以类似算一下方差 . 下面 \(M\) 是 \(k\) 个数最小值的随机变量：

\[\begin{aligned}\sigma^2&=\mathbb E\left(\left(M-\dfrac1{k+1}\right)^2\right)\\&=\mathbb E\left(M^2-\dfrac{2M}{k+1}+\dfrac1{(k+1)^2}\right)\\&=\int_0^1(1-\sqrt x)^k\mathrm dx-\dfrac{2\frac1{k+1}}{k+1}+\dfrac1{(k+1)^2}\\&=\dfrac2{k^2+3k+2}-\dfrac1{(k+1)^2}\\&=\dfrac k{(k+1)^2(k+2)}\end{aligned} \]

那么可以知道 \(\sigma=\Theta(k^{-1})\)，使用 Lemma 可以知道 \(|\delta|:\!=|M-\frac1{k+1}|<O(k^{-1}N^{-\frac12})\) 几乎一定成立 .

那么：

\[\left|\dfrac 1M-k-1\right|=\dfrac{(k+1)^2|\delta|}{1+(k+1)\delta}=O(kN^{-\frac12}) \]

几乎一定成立 . 从而相对误差几乎一定不超过 \(O(N^{-\frac12})\) .

所以对于原题来说取 \(N=\varepsilon^{-2}\) 就足够了 .

Reference.