2024.10.17 闲话

歌：センセイセンセイ - ぴーなた feat. 歌愛ユキ & メイメイ .

二项式展开

给 $a,b,c,n$，求：

$$\sum_{i=0}^n[c\mid i]\dbinom nia^ib^{n-i}$$

对 $19260817$ 取模 . $c\le 100$ .

原题比较随便做，下面考虑一下尽可能快能到多快 . 下面 $\mathsf M(n)$ 是长度为 $n$ 的多项式乘法的复杂度 .

套路一下大概就是单位根反演，然后要求 $\displaystyle\dfrac1c\sum_{i=0}^{c-1}(a\omega_c^i+b)^n$ . 到这里其实有点不可做了，因为模意义下单位根不一定存在 . 我最快能编出 $O(c\cdot \mathsf M(c)\log n)$ 的做法 .

还是别套路了 . 另一方面可以观察到，令 $A$ 是如下构造的 $c\times c$ 矩阵（下标从 0 开始）：

• $A_{i,i}=b$ .
• $A_{i,(i-1)\bmod c}=a$ .
• 对于上面两条之外的位置，$A_{i,j}=0$ .

那么答案就是 $A^n_{0,0}$ .

因为循环矩阵的幂还是循环矩阵，所以实际上只需要算第一行 . 然后每次矩阵乘法大概是做卷积，那么就 $O(\mathsf M(c)\log n)$ 了，暴打单位根反演 .

upd. 楼下说得对，可以看成是算 $[x^0](ax+b)^n\bmod(x^c-1)$ .

图