2024.10.5 闲话

感觉有意思的东西都变成（暂时还没有公开的）题目了，所以闲话暂且先写点这种 .

歌：Executioner - Laur .

SIF 排列计数

一个排列 $p$ 是 SIF 的当且仅当不存在 $l,r$ 使得 $\min(p_{l\dots r})=l$ 且 $\max(p_{l\dots r})=r$ .

问长度为 $n$ 的 SIF 排列数 $a_n$ .

其实就是抄 Callan 论文 . joke3579 也写过一个这个题 .

然而复合逆不太可写，所以整一个正常一点的做法 .

首先在长度 $n-1$ 的 SIF 排列中给 .

枚举插入 $n$ 前的排列的最长 SIF 子段长度 $s$ .

1. $s=n-1$：在任意置换环里插入 $n$ 可以得到长度为 $n$ 的 SIF 排列 .
2. $s<n-1$：把 $n$ 插到这个子段里，然后把这个子段插入到整个排列上 .

总之就是：

$$a_n=(n-1)a_{n-1}+\sum_{s=1}^{n-3}(n-s-2)a_{n-s-1}a_{s+1}=(n-1)a_{n-1}+\sum_{j=2}^{n-2}(j-1)a_ja_{n-j}$$

其中 $a_0=a_1=1$ .

那其实咋求都行了，可以做到 $\Theta(n\log n)$ 甚至 $\Theta(\frac{n\log^2n}{\log\log n})$ 甚至 $\Theta(n\log^2n)$ 甚至 $\Theta(n^2)$ .

真不是科技，模拟赛出的怎么能叫科技呢

歌：碳酸猫水 - 神楽坂ヨシキ & テヅカ feat. 鏡音リン + 初音ミク .

图