2024.10.5 闲话

感觉有意思的东西都变成（暂时还没有公开的）题目了，所以闲话暂且先写点这种 .

歌：Executioner - Laur .

SIF 排列计数

一个排列 \(p\) 是 SIF 的当且仅当不存在 \(l,r\) 使得 \(\min(p_{l\dots r})=l\) 且 \(\max(p_{l\dots r})=r\) .

问长度为 \(n\) 的 SIF 排列数 \(a_n\) .

其实就是抄 Callan 论文 . joke3579 也写过一个这个题 .

然而复合逆不太可写，所以整一个正常一点的做法 .

首先在长度 \(n-1\) 的 SIF 排列中给 .

枚举插入 \(n\) 前的排列的最长 SIF 子段长度 \(s\) .

1. \(s=n-1\)：在任意置换环里插入 \(n\) 可以得到长度为 \(n\) 的 SIF 排列 .
2. \(s<n-1\)：把 \(n\) 插到这个子段里，然后把这个子段插入到整个排列上 .

总之就是：

\[a_n=(n-1)a_{n-1}+\sum_{s=1}^{n-3}(n-s-2)a_{n-s-1}a_{s+1}=(n-1)a_{n-1}+\sum_{j=2}^{n-2}(j-1)a_ja_{n-j} \]

其中 \(a_0=a_1=1\) .

那其实咋求都行了，可以做到 \(\Theta(n\log n)\) 甚至 \(\Theta(\frac{n\log^2n}{\log\log n})\) 甚至 \(\Theta(n\log^2n)\) 甚至 \(\Theta(n^2)\) .

真不是科技，模拟赛出的怎么能叫科技呢

歌：碳酸猫水 - 神楽坂ヨシキ & テヅカ feat. 鏡音リン + 初音ミク .

图