2024.10.20 闲话

歌：可哀想はカワイイ♡ - みつあくま feat. 初音ミク .

动态 FFT

给一个长度为 $n$ 的序列 $a$，保证 $n$ 是 2 的幂 . $q$ 次操作，支持单点修改 $a$，单点查询 $a$ 的 DFT 数组 .

令 $n=2^b$ .

先给序列 $a$ 做 $\frac b2$ 轮 FFT，那么每次修改的时候只影响 $2^{\frac b2}=\sqrt n$ 个位置，可以直接暴力改掉 .

查询的时候可以直接用 FFT 的那个递归的式子（Azune FFT 解析）做 $\frac b2$ 层，递归树大小显然是 $2^{\frac b2}=\sqrt n$ 的 . joke3579 表示这个事情实际上是在做转置的 FFT .

然后就 $O(n\log n+q\sqrt n)$ 了，暴打根号重构啊！

其实可以考虑一下那个 meet-in-the-middle 的图，但是图对于这个题来说并不完全准确 .

这个图来自于我 4 年前的博客，看这个图片大概还是能感受到那股劲的 .

图

upd. Dream Fourier Transform .