2024.9.13 闲话

5k 整了一个问题：Min_26 筛学习笔记 中 Step 4 的复杂度分析 .

问题：求 \(\le m\) 的素数幂 \(p^k\) 的个数，其中 \(p\le n\) .

看到这个问题可以发现又是一个套路的 R-S 积分：

\[\begin{aligned}\mathrm{ans}&=\int_2^n\log_p(m)\mathrm d\pi(p)\\&=\pi(n)+\int_2^n\pi(p)\mathrm d(\log_pm)\\&\sim\pi(n)+\ln m\int_2^n\dfrac p{\ln^3p}\mathrm dp\\&=\pi(n)+\ln m\left(\dfrac12\left(\operatorname{li}(n)-\dfrac{n\ln n+n}{\ln^2n}\right)+O(1)\right)\\&=\pi(n)+\ln m\left(\dfrac12\left(\dfrac n{\ln n}+\dfrac n{\ln^2n}+O\left(\dfrac{n}{\ln^3n}\right)-\dfrac{n\ln n+n}{\ln^2n}\right)+O(1)\right)\\&\sim\dfrac{n(\ln^2n+\ln m)}{\ln^3n}\end{aligned} \]

比如取 \(m\sim n^{t\ln n}\)，可以得到 \(\dfrac{nt}{\ln n}\) 的估计 .

主要是也没啥时间写闲话了，先水一篇（

图