简记决策单调性

目录

• 单调矩阵
  • 定义
  • 蒙日阵的生成
• 一维决策单调性
  • 问题描述
  • 分治
  • 二分栈
• 二维决策单调性
  • 最优搜索树问题
  • 蒙日矩阵乘法

单调矩阵

定义

对于矩阵 $A$，定义 $\min_i(A)$ 表示最大的 $k$ 满足 $A_{i,k}=\min_jA_{i,j}$，即第 $i$ 行最靠后的最小值位置 .

定义：对于 $i<j$ 满足 $\min_i(A)\le\min_j(A)$ 的矩阵称作单调矩阵 . 若一个矩阵 $A$ 的所有子矩阵均为单调矩阵，则称为完全单调矩阵 .

常规意义上的决策单调性问题就是单调矩阵上求列最小值的问题 .

对于任意 $i_1<i_2$，$j_1<j_2$ 满足 $A_{i_1,j_1}+A_{i_2,j_2}\le A_{i_1,j_2}+A_{i_2,j_1}$，则称矩阵 $A$ 满足四边形不等式 .

一个矩阵满足四边形不等式，则称其为蒙日矩阵或者蒙日阵 .

定理：矩阵 $A$ 满足四边形不等式当且仅当对于任意 $i,j$ 满足 $A_{i,j} + A_{i+1, j+1} \le A_{i, j+1} + A_{i+1, j}$ . 证明考虑二维差分即可 .

显然蒙日阵均为完全单调矩阵，所以满足四边形不等式可以导出满足决策单调性 .

蒙日阵的生成

蒙日矩阵乘法（$(\min,+)$ 矩阵乘法）：

$$(A\times B)_{i,j}=\min_k\{A_{i,k}+B_{k,j}\}$$

断言：若 $A$ 是蒙日阵，则下列矩阵都是蒙日阵：

• $A^{\sf T}$ .
• $\lambda A$ 其中 $\lambda\ge 0$ .
• $A$ 的某一行或列上全体加常数 $c$ 后得到的矩阵 .

若 $A,B$ 是蒙日阵，则 $A+B$ 和 $AB$ 都是蒙日阵 .

蒙日阵的乘积仍是蒙日阵

令 $A,B$ 是蒙日阵，$C=AB$ . 考察 $i_1\le i_2$，$j_1\le j_2$，$k_1$ 是 $C_{i_1,j_2}$ 取到最小值的位置，$k_2$ 是 $C_{i_2,j_1}$ 取到最小值的位置 . 不失一般性，令 $k_1\le k_2$ .

则：

$$\begin{aligned}C_{i_1,j_1}+C_{i_2,j_2}&\le(A_{i_1,k_1}+B_{k_1,j_1})+(A_{i_2,k_2}+B_{k_2,j_2})\\&=(A_{i_1,k_1}+A_{i_2,k_2})+(B_{k_1,j_1}+B_{k_2,j_2})\\&\le(A_{i_1,k_1}+A_{i_2,k_2})+(B_{k_1,j_2}+B_{k_2,j_1})\\&=(A_{i_1,k_1}+B_{k_1,j_2})+(A_{i_2,k_2}+B_{k_2,j_1})\\&=C_{i_1,j_2}+C_{i_2,j_1}\end{aligned}$$

即得原命题 .

一些常见的蒙日阵 $A$ 的例子：

• $A_{x,y}=\min\{x,y\}$ .
• $A_{x,y}=\max\{x,y\}$ .
• $A_{x,y}=xy$ .
• $A_{x,y}=|x-y|^p$ 其中 $p\le 1$ .
• $A_{x,y}=\sum_{i=1}^n\sum_{j=y}^md_{i,j}$ 其中 $d_{i,j}\ge0$ .
• $A_{x,y}=[x=k]v_k$ .
• $A_{x,y}=[y=k]v_k$ .
• $A_{x,y}=f(x-y)$ 其中 $f$ 下凸 .
• $A_{x,y}=\begin{cases}-f(\{T_x,\cdots,T_y\})&x\le y\\+\infty&\text{otherwise.}\end{cases}$ 其中 $f$ 是 $S$ 上的次模函数，$T$ 是 $2^S$ 中的任意 $|S|$ 个不同元素 .
  注：函数 $f$ 是 $S$ 上的次模函数当且仅当对于任意 $X,Y\in 2^S$ 有 $f(X)+f(Y)\ge f(X\cap Y)+f(X\cup Y)$ .

一维决策单调性

问题描述

考虑两种 DP：

1. 对于 $dp_{i,j}=\min\limits_{k<j}\{dp_{i-1,k}+w_{k,j}\}$，注意到相当于每次乘 $W^{\sf T}$ 加若干列 $dp_{i-1,y}$ 构成的矩阵，所以若 $W$ 是蒙日阵则 DP 有决策单调性 .
2. 对于 $dp_i=\min\limits_{j<i}\{dp_j+w_{j,i}\}$，可以类似分析出决策单调性 .

后称第一种 DP 为离线决策单调性，第二种 DP 为在线决策单调性 . 假设 $w$ 可以 $O(1)$ 计算 .

下面介绍解决两类问题的线性对数算法，线性算法在 OI 中没啥用就不说了 .

第一类问题又称为决策单调性最短路问题，可以证明答案一定是凸的：[JOISC 2023 Day3] Chorus .

分治

分治可以解决离线决策单调性的问题 .

$\operatorname{solve}(l,r,L,R)$ 表示计算 $l\dots r$ 行的 $\min_i(A)$，且 $L\le\min_i(A)\le R$，每次取中点 $m=\lfloor\frac{l+r}2\rfloor$ 算 $\min_m(A)$，分别处理 $\operatorname{solve}(l,m-1,L,\min_m(A)),\operatorname{solve}(m+1,r,\min_m(A),R)$ 即可 .

共 $O(\log n)$ 层，每层 $O(m)$ 个点，故复杂度为 $O(m)$ .

这里可以注意一点：如果每次暴力移动指针计算所有 $A$，总的移动距离是线性对数级别的：CF868F .

二分栈

动态维护每个列 $i$ 对应取到最小值的行区间 $[l_i,r_i]$ . 依次插入每个列 $i$:

• 若栈不为空且栈顶元素 $j$ 满足 $A_{l_j,i}\le A_{l_j,j}$，弹栈，然后重复操作 .
• 若栈为空则加入 $l_i=1,r_i=n$ .
• 否则，取栈顶元素 $j$，二分出最大的 $k$ 满足 $A_{k,j}<A_{k,i}$ 然后令 $r_j\gets k$，若 $r_j\neq n$ 则加入 $l_i=k+1,r_i=n$ .

省流：对于任意两列，左边的列在一段前缀优，右边的列在一段后缀优，二分出分界点 .

显然时间复杂度为 $O(m\log n)$ .

二维决策单调性

最优搜索树问题

问题：

$$dp_{i,j}=\begin{cases}0&i\ge j\\\min\limits_{i\le k<j}\{dp_{i,k}+dp_{k+1,j}\}+w_{i,j}&i<j\end{cases}$$

定义：若方阵 $A$ 满足对于任意 $i_1\le i_2\le j_2\le j_1$ 都有 $A_{i_1,j_1}\ge A_{i_2,j_2}$ 则称 $A$ 满足区间包含单调性 .

定理：若 $w$ 满足四边形不等式和区间包含单调性，则 $dp$ 满足四边形不等式 .

证明

只需证对于任意 $i_1\le i_2\le j_1\le j_2$ 满足 $dp_{i_1,j_1}+dp_{i_2,j_2}\le dp_{i_1,j_2}+dp_{i_2,j_1}$ .

对 $j_2-i_1$ 归纳，$j_2-i_1\le1$ 时显然 .

令 $dp_{i,j,x}=w_{i,j}+dp_{i,x}+dp_{x+1,j}$ . 讨论：

• 若 $i_2=j_1$，则需要证明三角形不等式 $dp_{i_1,j_1}+dp_{j_1,j_2}\le dp_{i_1,j_2}$，令 $dp_{i_1,j_2}$ 的最优决策点是 $u\le j_1$，则：
  $$\begin{aligned}dp_{i_1,j_1}+dp_{i_2,j_2}&\le dp_{i_1,j_1,u}+dp_{j_1,j_2}\\&=w_{i_1,j_1}+dp_{i_1,u}+dp_{u+1,j_1}+dp_{j_1,j_2}\\&\le w_{i_1,j_2}+dp_{i_1,u}+dp_{u+1,j_2}\\&=dp_{i_1,j_2}\end{aligned}$$
  $u>j_1$ 类似 .
• 若 $i_2\neq j_1$，令 $dp_{i_1,j_2}$ 与 $dp_{i_2,j_1}$ 的最优决策点分别为 $u\le v$，则：
  $$\begin{aligned}dp_{i_1,j_1}+dp_{i_2,j_2}&\le dp_{i_1,j_1,u}+dp_{i_2,j_2,v}\\&=(w_{i_1,j_1}+w_{i_2,j_2})+(dp_{i_1,u}+dp_{i_2,v})+(dp_{u+1,j_1}+dp_{v+1,j_2})\\&\le (w_{i_1,j_2}+w_{i_2,j_1})+(dp_{i_1,u}+dp_{i_2,v})+(dp_{u+1,j_2}+dp_{v+1,j_1})\\&=dp_{i_1,j_2}+dp_{i_2,j_1}\end{aligned}$$
  $u>v$ 类似 .

证明完毕 .

定理：设 $dp_{i,j}$ 的最优决策点为 $K_{i,j}$，则 $K_{i-1,j}\le K_{i,j}\le K_{i,j+1}$ .

证明：下面证明 $K_{i,j}\le K_{i,j+1}$，另一边类似 .

构造：

$$A_{p,q}=\begin{cases}w_{i,q}+dp_{i,p}+dp_{p+1,q}&i\le p<q\\+\infty&\text{otherwise}\end{cases}$$

那么 $A$ 是蒙日阵，且 $K_{i,j}=\min_j(A)$，所以有单调性 .

那么按区间长度依次计算 $dp$ 和 $K$ 即可做到 $\Theta(n^2)$ 时间复杂度 .

蒙日矩阵乘法

问题：给两个蒙日矩阵 $A,B$，求 $C=AB$ .

定理：令 $K_{i,j}$ 为 $C_{i,j}$ 最小的最优决策点，则 $K_{i,j-1}\le K_{i,j}\le K_{i+1,j}$ .

类似地，也只需要证明 $K_{i,j-1}\le K_{i,j}$ .

若存在 $j_1<j_2$ 使得 $K_{i,j_1}>K_{i,j_2}$ . 令 $K_{i,j_1}=k,\,K_{i,j_2}=l$，则：

$$\begin{aligned}C_{i,j_1}+C_{i,j_2}&=(A_{i,k}+B_{k,j_1})+(A_{i,l}+B_{l,j_2})\\&\ge(A_{i,k}+B_{k,j_2})+(A_{i,l}+B_{l,j_1})\\&>C_{i,j_2}+C_{i,j_1}\end{aligned}$$

矛盾！则即得 $K_{i,j_1}\le K_{i,j_2}$ .

那么可以用和上一节类似的方法 $\Theta(n^2)$ 计算蒙日矩阵乘法：序列变换 .