2024.7.28 闲话

歌：またおいで - さうざんど feat. 可不 .

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一个仅含 $\texttt{( ) ?}$ 的字符串是好的当且仅当可以把每个 $\texttt?$ 替换为 $\texttt($ 或 $\texttt)$ 使得最终形成一个匹配的括号串 .

对于固定的 $n$ 对于每个 $k$ 计算长为 $2n$ 含 $k$ 个 $\texttt?$ 的好串个数，对 $10^9+3579$ 取模 .

将问题看成一个格路计数的问题：从 $(0,0)$ 出发遇到一个 $\texttt($ 就走 $(1,1)$，遇到一个 $\texttt)$ 就走 $(1,-1)$，遇到一个 $\texttt?$ 可以选择走 $(1,1)$ 或 $(1,-1)$，需要走到 $(n,0)$ 且时刻不进入 $x$ 轴下方 .

容易发现若决策 $\texttt?$ 后若最终能走到的最低点为 $(n,m_1)$、最高点为 $(n,m_2)$，则最终能到达的点一定形如 $(n,m_1+2i)$，其中 $i$ 是 $[0,\frac{m_2-m_1}2]$ 间的整数 .

令生成函数：

$$D(x,y,s,t)=\sum_ws^{\operatorname{nondet}(w)}t^{|w|}x^{\min(w)}y^{\max(w)}$$

其中 $w$ 是任意一个括号串，$\operatorname{nondet}(w)$ 是 $w$ 中 $\texttt?$ 的个数，$\operatorname{min}(w),\operatorname{max}(w)$ 分别是决策 $\texttt?$ 后若最终能走到的最低点和最高点的纵坐标 . 则欲求即为 $[s^kt^{2n}]D(0,1,s,t)$ .

首先容易得到方程：

$$\begin{aligned}D(x,y,s,t)=1&+t(x^{-1}y^{-1}+xy+sx^{-1}y)(D(x,y,s,t)-D(0,y,s,t))\\&+t(xy^{-1}+(1+s)xy)(D(0,y,s,t)-D(0,0,s,t))\\&+t(1+t)xyD(0,0,s,t)\end{aligned}$$

令 $K(x,y)=xy(1-t(x^{-1}y^{-1}+xy+sy^{-1}x))$，则原式可以简化为：

$$K(x,y)D(x,y,s,t)=xy+t(x^2-1)(sy^2+1)D(0,y,t)-tx^2D(0,0,t)$$

为了求解，考察函数 $X,Y$ 满足 $K(1,Y(t))=K(X(y,t),y)=0$（可以简单解出）.

在原式中代入 $x=1$：

$$K(1,y)D(1,y,s,t)=y-tD(0,0,s,t)$$

此时令 $y=Y(t)$ 让等号左侧变成 0，即可得出 $D(0,0,s,t)$ 的值，进而可以知道 $D(1,y,s,t)$ 的值：

$$D(0,0,s,t)=\dfrac{Y(t)}t\qquad D(1,y,s,t)=\frac{y-Y(t)}{K(1,y)}$$

类似的，可以得到 $D(0,y,s,t)$ 的封闭形式，进而可以组合出 $D$ 的封闭形式：

$$D(x,y,s,t)=\dfrac{(x-X(y,t))(y-xY(t)-X(y,t)Y(t)+xyX(y,t))}{(1-X(y,t^2))K(x,y)}$$

代入 $x=0,\,y=1$ 并仔细地展开整理可以得到答案的生成函数：

后面看 joke3579 的吧（

图