2024.7.12 闲话

图

问题：求 \(y=h\) 下 \(y=0\) 上的 \((0,0)\) 到 \((n,k)\) 的 Motzkin 路数量 .

令答案是 \(f_{n,k}\)，对列建立生成函数 \(f_k(z)\)，则：

\[\begin{bmatrix}1-z&-z&0&\cdots&0&0\\-z&1-z&-z&\cdots&0&0\\0&-z&1-z&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\0&0&0&\cdots&1-z&-z\\0&0&0&\cdots&-z&1-z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}f_0(z)\\f_1(z)\\f_2(z)\\\vdots\\f_{h-2}(z)\\f_{h-1}(z)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\vdots\\0\\0\end{bmatrix} \]

那么只需求 \(a_h=\det(A_h)\)，其中 \(A_h\) 是系数矩阵 i.e. $A_h \cdot [f_0(z), f_1(z), \cdots, f_{h - 1}(z)]^{\mathsf T} = [1,0,\cdots,0]^{\sf T} $ .

按第一列展开可以得到递推：

\[a_h=(1-z)a_{h-1}+z^2a_{h-2} \]

其中 \(a_0=1\)，\(a_1=1-z\) .

令特征根为 \(\alpha,\beta\)，则：

\[a_h=[x^h]\dfrac1{(1+\alpha x)(1+\beta x)}=\sum_{k=0}^h\alpha^k\beta^{h-k}=\dfrac{\alpha^{h+1}-\beta^{h+1}}{\alpha-\beta} \]

根据 Girard-Waring 公式（文中 22 式）可得：

\[a_h=\sum_{k=0}^{\lfloor h/2\rfloor}(-1)^k\dbinom{h-k}k(1-z)^{h-2k}z^{2k} \]

从而根据 Cramer 法则可以得到：

\[f_k(z)=\dfrac{\det(A_{h,j+1})}{\det A_h}=\dfrac{a_{h-k-1}}{a_h}z^k \]

其中 \(A_{h,i}\) 是将 \(A_h\) 的第 \(i\) 列替换为 \([1,0,\cdots,0]^{\sf T}\) 得到的矩阵 . 可以计算得 \(\det A_{h,i}=z^{i-1}a_{h-i}\) .

Reference:

• Henry W. Gould, The Girard-Waring Power Sum Formulas For Symmetric Functions And Fibonacci Seqences .
• 杨胜良, 王楠, 部分 Motzkin 路的计数 .
• 许燕华, 常海廷, \(Motzkin\) 路上高为 \(k\) 的峰的个数 .

Alice in Wonderland .