2024.7.12 闲话

图

问题：求 $y=h$ 下 $y=0$ 上的 $(0,0)$ 到 $(n,k)$ 的 Motzkin 路数量 .

令答案是 $f_{n,k}$，对列建立生成函数 $f_k(z)$，则：

$$\begin{bmatrix}1-z&-z&0&\cdots&0&0\\-z&1-z&-z&\cdots&0&0\\0&-z&1-z&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\0&0&0&\cdots&1-z&-z\\0&0&0&\cdots&-z&1-z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}f_0(z)\\f_1(z)\\f_2(z)\\\vdots\\f_{h-2}(z)\\f_{h-1}(z)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\vdots\\0\\0\end{bmatrix}$$

那么只需求 $a_h=\det(A_h)$，其中 $A_h$ 是系数矩阵 i.e. $A_h \cdot [f_0(z), f_1(z), \cdots, f_{h - 1}(z)]^{\mathsf T} = [1,0,\cdots,0]^{\sf T}$ .

按第一列展开可以得到递推：

$$a_h=(1-z)a_{h-1}+z^2a_{h-2}$$

其中 $a_0=1$，$a_1=1-z$ .

令特征根为 $\alpha,\beta$，则：

$$a_h=[x^h]\dfrac1{(1+\alpha x)(1+\beta x)}=\sum_{k=0}^h\alpha^k\beta^{h-k}=\dfrac{\alpha^{h+1}-\beta^{h+1}}{\alpha-\beta}$$

根据 Girard-Waring 公式（文中 22 式）可得：

$$a_h=\sum_{k=0}^{\lfloor h/2\rfloor}(-1)^k\dbinom{h-k}k(1-z)^{h-2k}z^{2k}$$

从而根据 Cramer 法则可以得到：

$$f_k(z)=\dfrac{\det(A_{h,j+1})}{\det A_h}=\dfrac{a_{h-k-1}}{a_h}z^k$$

其中 $A_{h,i}$ 是将 $A_h$ 的第 $i$ 列替换为 $[1,0,\cdots,0]^{\sf T}$ 得到的矩阵 . 可以计算得 $\det A_{h,i}=z^{i-1}a_{h-i}$ .

Reference:

• Henry W. Gould, The Girard-Waring Power Sum Formulas For Symmetric Functions And Fibonacci Seqences .
• 杨胜良, 王楠, 部分 Motzkin 路的计数 .
• 许燕华, 常海廷, $Motzkin$ 路上高为 $k$ 的峰的个数 .

Alice in Wonderland .