2024.5.30 闲话

歌：对方集散地立刻发动大家来看随机附带了 - 大家分厘卡时间 feat. 重音テト .

问题：对于 \(m,k\)，计算 \(\operatorname{ord}_m(x)=k\) 的 \(x\) 个数 .

首先令 \(\psi(m)\) 是最大的满足对于任何 \(x\perp n\) 都有 \(x^k\equiv1\pmod m\) 的 \(k\)（A002322）. 则：

\[\psi(p^k)=\begin{cases}p^{k-1}&p=2\land k\le 2\\p^{k-2}&p=2\land k\ge 3\\(p-1)p^{k-1}&p\ge 3\end{cases} \]

对于其他位置可以由素数幂处的值取 lcm 得到（这个并不重要）.

先考虑计算 \(x^d\equiv1\pmod m\) 的解数 \(f_m(d)\)，因为积性所以只需要考虑素数幂 \(p^c\) 处的情况 .

特判 \(p=2\)，对于 \(p\ge 3\) 的情况，存在原根，所以可以转写为 \(d\cdot\operatorname{ind}(x)\equiv 0\pmod{\varphi(p^c)}\)，这个方程显然只有 \(\gcd(\varphi(p^c),d)\) 个解 .

最终的结果是：令校正函数：

\[C_{m,p_i}(p^k)=\begin{cases}2\cdot p^k&p_i=p=2\land k\ge1\land 8\mid m\\p^k&\text{otherwise.}\end{cases} \]

则答案为 \(f_m(d)=\prod C_{m,p_i}(\gcd(\psi(p_i^{c_i},d)))\) .

容斥可得原问题的答案就是 \(f_m*\mu\)，也就是：

\[c_m(d)=\prod_{p^c\Vert\psi(m)}\left(\prod_iC_{m,p_i}(\gcd(\psi(p_i^{c_i},p^c)))-\prod_iC_{m,p_i}(\gcd(\psi(p_i^{c_i},p^{c-1})))\right) \]

可以先假设 \(\nu_p(\psi(p_i^{c_i}))<c\) 然后调整 \(\nu_p(\psi(p_i^{c_i}))=c\) 的位置，注意到：

\[\prod_{p^c\Vert\psi(m)}\prod_iC_{m,p_i}(\gcd(\psi(p_i^{c_i},p^c)))=\varphi(m) \]

则：

\[c_m(d)=\varphi(m)\prod_{p\mid\psi(m)}\dfrac{p^{w_m(p)}-1}{p^{w_m(p)}}\text{ where }w_m(p)=[p=2\land2\mathop{\Vert}d\land8\mathop{\Vert}m]+\sum_i[\nu_p(\psi(p_i^{c_i}))=\nu_p(d)] \]

然而这个形式并没有什么太大的改进，只是稍微好看了一点 .

Reference:

• [CENSORED]
• 数论题 - Luogu .
• Number of solutions to \(x^k\equiv 1\pmod p\) - Mathematics Stack Exchange .

以上 \(p\) 是素数 .