2024.5.27 闲话

歌：的技术分类陆军第十六开发 - 就打开拉萨附近开了 vs. 都发生了废物i发剑法 feat. 反对joie殴辱 + 发动机看来是飞机离开.

可橙 .

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有一簇等差数列，第 \(i\) 个首项为 \(a_i\)、公差为 \(d_i\)，满足任意两个等差数列的交为空，且所有等差数列的并为 \(\mathbb N_+\) .

求证：

1. \(a_i\le d_i\) .
2. 对于固定的等差数列个数 \(n\)，求证 \(\sum\frac{a_i}{d_i}=C(n)\) 是只关于 \(n\) 的函数，并求 \(C\) 的表达式 .

证明

Task 1

若存在 \(i\) 使得 \(a_i>d_i\)，则考察位置 \(a_i-d_i\) .

如果这个位置被一个公差为 \(d'\) 的等差数列覆盖，则位置 \(a_i-d_i+\operatorname{lcm}(d',d)\) 同时在两个等差数列中出现，导出矛盾 . 故证明完毕 .

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Task 2

取 \(D=\operatorname{lcm}(d_1,d_2,\cdots,d_n)\) .

对于每个等差数列 \((a,d)\)，将其拆成 \((a,D),(a+d,D),\cdots(a_i+D-d,D)\) 共 \(\frac Dd\) 个等差数列，易证新等差数列簇仍满足题目条件，且 \(C(n)\) 的变化量：

\[\begin{aligned}\Delta C&=\sum_{i=0}^{\frac Dd-1}\dfrac{a+id}D-\dfrac{a}d\\&=\dfrac{\frac Dd\cdot a}D+\dfrac{\frac 12(\frac Dd-1)\frac Dd\cdot d}{D}-\dfrac ad\\&=\frac ad+\frac{\frac Dd-1}2-\frac ad\\&=\frac{\frac Dd-1}2\end{aligned} \]

注意到 \(\frac Dd-1\) 恰为增加等差数列的个数 .

不难发现对所有等差数列操作完后最终的等差数列簇必然形如 \((0,D),(1,D),\cdots,(D-1,D)\)，对应的 \(C(n)\)：

\[C^{\star}=\sum_{i=0}^{D-1}\dfrac iD=\dfrac{D-1}2 \]

又每增加一个等差数列 \(C\) 增加 \(\frac12\)，增加了 \(D-n\) 个等差数列，从而最初的 \(C(n)\)：

\[C=C^{\star}-\dfrac{D-n}2=\dfrac{n-1}2 \]

从而 \(C(n)=\frac{n-1}2\) .

图