2024.5.26 闲话

meme

歌：节快乐的方式记录开发经理的法兰克 - 地方就是开了房间圣诞快乐 feat. 的JFK罗斯福 .

积性函数 $f$ 满足 $f(p^k)=a_k$ 且 $a$ 是非负的常数次多项式，若 $a$ 中第一个非零的位置为 $p$（$p\ge 1$），则有：

$$\sum_{i=1}^nf(i)=O(n^{1/p}\log^{a_p-1}(n))$$

令 $T_k(x)$ 表示 $x$ 是不是完全 $k$ 次方数，仔细地观察可以发现存在序列 $\{c\}$ 使得：

$$\prod_{k\ge1}T_k^{c_k}(x)=g(x)\ge f(x)$$

那么考察 $g$ 前缀和的上界，只需要注意 $\{c\}$ 的第一个非零项 $t$ 产生的贡献 $T_t^{c_t}$，后面的项都是低阶的 .

关于这个算一下递推就可以分析出来：

$$\begin{aligned}&w_0(n)=n^{1/t}\\&w_i(n)=\int_1^{n^{1/t}}w_{i-1}\left(\dfrac n{x^t}\right)\mathrm dx\end{aligned}$$

最终就是 $w_{c_t}(n)\sim n^{1/t}\log^{c_t-1}(n)$，也就是原文里说的那个 $\sum_{i=1}^nf(i)=O(n^{1/p}\log^{a_p-1}(n))$ .

冰