2024.5.26 闲话

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歌：节快乐的方式记录开发经理的法兰克 - 地方就是开了房间圣诞快乐 feat. 的JFK罗斯福 .

积性函数 \(f\) 满足 \(f(p^k)=a_k\) 且 \(a\) 是非负的常数次多项式，若 \(a\) 中第一个非零的位置为 \(p\)（\(p\ge 1\)），则有：

\[\sum_{i=1}^nf(i)=O(n^{1/p}\log^{a_p-1}(n)) \]

令 \(T_k(x)\) 表示 \(x\) 是不是完全 \(k\) 次方数，仔细地观察可以发现存在序列 \(\{c\}\) 使得：

\[\prod_{k\ge1}T_k^{c_k}(x)=g(x)\ge f(x) \]

那么考察 \(g\) 前缀和的上界，只需要注意 \(\{c\}\) 的第一个非零项 \(t\) 产生的贡献 \(T_t^{c_t}\)，后面的项都是低阶的 .

关于这个算一下递推就可以分析出来：

\[\begin{aligned}&w_0(n)=n^{1/t}\\&w_i(n)=\int_1^{n^{1/t}}w_{i-1}\left(\dfrac n{x^t}\right)\mathrm dx\end{aligned} \]

最终就是 \(w_{c_t}(n)\sim n^{1/t}\log^{c_t-1}(n)\)，也就是原文里说的那个 \(\sum_{i=1}^nf(i)=O(n^{1/p}\log^{a_p-1}(n))\) .

冰