2024.5.9 闲话

歌：超级棒棒糖 - 彭雨菲 .

执行某些任务的魔法少女

Phigros 联动的白复生 EZ 物量原来比 IN 高 .

好像 APJ 有个歌词，不过还上不了 QQ，先保留（

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Wendel 定理

在 \(\R^d\) 上的单位球面上取 \(n\) 个点，它们落在同一个半球内的概率

\[p_{d,n}=2^{1-n}\sum_{k=0}^{d-1}\dbinom{n-1}k \]

就是那个 3b1b 写的高手 MO 题的任意维度、点数版本（

考虑随 \(n\) 条直径，然后在每条直径上随一个端点作为取的点 .

考虑以每个点为极点的 \(d-1\) 维平面，可以发现取的端点在同一个半球内的方案数就相当于这 \(n\) 个平面把球面切成的块数 .

考虑 \(n\) 个 \(d-1\) 维平面切 \(d\) 维球的块数 \(N(d,n)\) 可以由递推表达：

\[N(d,n)=N(d,n-1)+N(d-1,n-1) \]

只需要考虑加一个平面的贡献，假设之前的平面是 \(X_{1\dots n-1}\)，加入平面 \(X_n\)，那么加入后把原有平面切开的数量就相当于 \(n-1\) 个 \(d-2\) 维平面 \(X_{1\dots n-1}\cap X_n\) 所构成的块的数量 .

这里边界是 \(N(1,n)=N(d,1)=2\) .

最终可以解出来 \(N\) 的表达式：

\[N(d,n)=2\sum_{k=0}^{d-1}\dbinom{n-1}k \]

从而概率就是合法方案数除以总方案数：

\[p_{d,n}=\dfrac{N(d,n)}{2^n}=2^{1-n}\sum_{k=0}^{d-1}\dbinom{n-1}k \]

图

偷一个 bikuhiku 的（

那个前半面都是恋恋和芙兰的，感觉是 crimson 推的类型 .