2024.4.26 闲话

歌：ソナチネ - ユジー feat. 初音ミク .

meme

怎么还有 $O(\frac{n^{3/4}}{\log n})$ 块筛卷积，难过 .

体育中考获得高手分，大获全胜（？

---

所以开电脑到底是什么原理啊 .

问题：对所有 $k$ 求出 $k$ 个点 $n$ 个叶子的 leafy tree 数量 .

令答案是 $c(k,n)$，设二元生成函数 $F(x,t)=\sum_{n\ge0}\sum_{k\ge0}c(n,k)\frac{x^n}{n!}t^k$ .

那么容易导出 $F=x(\exp F-F)-x+xt$，也就是 $x=\dfrac F{\exp F-F-1+t}$ .

对 $x$ 用拉格朗日反演：

$$\begin{aligned}\left[\dfrac{x^c}{c!}\right]F(x,t)&=(c-1)!\cdot[x^{c-1}](\mathrm e^x-x-1+t)^c\\&=(c-1)!\cdot[x^{c-1}]\sum_{i=0}^c\dbinom cit^i(\mathrm e^x-x-1)^{c-i}\end{aligned}$$

从而：

$$\left[\dfrac{x^c}{c!}t^n\right]F(x,t)=(c-1)!\dbinom cn[x^{c-1}](\mathrm e^x-x-1)^{c-n}$$

那么只需要对一个 $n$ 求每个 $a_c=[x^{c-1}](\mathrm e^x-x-1)^{c-n}$ .

令 $G(x)=\dfrac{2(\mathrm e^x-x-1)}x$，那么：

$$\begin{aligned}a_c&=[x^{c-1}]\left(\dfrac x2\cdot G(x)\right)^{c-n}\\&=2^{n-c}\cdot[x^{n-1}]G(x)^{c-n}\\&=\dfrac{2^{n-c}}{n-1}[x^{n-2}](c-n)x^{c-n-1}\left(\dfrac x{G^{\langle-1\rangle}(x)}\right)^{n-1}\\&=\dfrac{c-n}{n-1}\cdot 2^{n-c}\cdot[x^{2n-c-1}]\left(\dfrac x{G^{\langle-1\rangle}(x)}\right)^{n-1}\end{aligned}$$

对于 $G^{\langle-1\rangle}(x)$ 可以 Newton 迭代求出，从而后面的提取系数可以在 $\Theta(n\log n)$ 的预处理后 $\Theta(1)$ 完成 .

意义不明闲话 .