2024.4.24 闲话

全输了，来到 hz 推歌都没了 .

歌：冬結コンポート - nogi feat. 初音ミク .

鬼图

东风谷效应犯了 .

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跟 5k 讨论了一下带 \(F(x^k)\) 的 Newton 迭代，感觉有一个比较靠谱的解释，市面上的解释都太魔怔了 .

考虑一个 Newton 迭代的在线算法，对于多项式 \(F(x)\) 进行 \(n\) 次迭代，对于第 \(n\) 轮，如果之前的 \(F(x)\) 是 \(F_0(x)\)，则进行：

\[F(x)=(G(F_0(x))+H(x))\bmod x^{2^n} \]

其中 \(G(x)\) 是固定函数，\(H(x)\) 是固定的多项式，\(H(x)\) 在线给出（也即第 \(n\) 轮的时候你只知道 \(H(x)\bmod x^{2^n}\)）.

例（无标号有根树计数）：

\[\ln\dfrac{F(x)}x-\sum_{k\ge1}\dfrac{F(x^k)}k=0 \]

求 \(F(x)\bmod x^n\) .

改写为：

\[\ln\dfrac{F(x)}x-F(x)-\sum_{k\ge2}\dfrac{F(x^k)}k=0 \]

令 \(\displaystyle G(x)=\sum_{k\ge2}\dfrac{F(x^k)}k\)，那么就是：

\[\ln\dfrac{F(x)}x-F(x)-G(x)=0 \]

做 Newton 迭代：

\[F(x)\equiv F_0(x)-\dfrac{\ln(\frac{F_0(x)}x)-F_0(x)-G(x)}{\frac{1}{F_0(x)}-1}\pmod{x^n} \]

注意这里的 \(G(x)\) 和 \(F_0(x)\) 无关，就是由最终的答案 \(F\) 求得的 \(G\) .

因为求 \(G(x)\bmod x^n\) 只需要用到 \(F(x)\bmod x^{\lfloor\frac n2\rfloor}\)，所以相当于 \(G(x)\) 在线给出 .

那么用一般 Newton 迭代即可完成 .

感觉好久没用过 \(x\) 了 .

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Phigros 咋玩啊，感觉全不会

rks 都不到 14，难过了 .