2024.4.24 闲话

全输了，来到 hz 推歌都没了 .

歌：冬結コンポート - nogi feat. 初音ミク .

鬼图

东风谷效应犯了 .

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跟 5k 讨论了一下带 $F(x^k)$ 的 Newton 迭代，感觉有一个比较靠谱的解释，市面上的解释都太魔怔了 .

考虑一个 Newton 迭代的在线算法，对于多项式 $F(x)$ 进行 $n$ 次迭代，对于第 $n$ 轮，如果之前的 $F(x)$ 是 $F_0(x)$，则进行：

$$F(x)=(G(F_0(x))+H(x))\bmod x^{2^n}$$

其中 $G(x)$ 是固定函数，$H(x)$ 是固定的多项式，$H(x)$ 在线给出（也即第 $n$ 轮的时候你只知道 $H(x)\bmod x^{2^n}$）.

例（无标号有根树计数）：

$$\ln\dfrac{F(x)}x-\sum_{k\ge1}\dfrac{F(x^k)}k=0$$

求 $F(x)\bmod x^n$ .

改写为：

$$\ln\dfrac{F(x)}x-F(x)-\sum_{k\ge2}\dfrac{F(x^k)}k=0$$

令 $\displaystyle G(x)=\sum_{k\ge2}\dfrac{F(x^k)}k$，那么就是：

$$\ln\dfrac{F(x)}x-F(x)-G(x)=0$$

做 Newton 迭代：

$$F(x)\equiv F_0(x)-\dfrac{\ln(\frac{F_0(x)}x)-F_0(x)-G(x)}{\frac{1}{F_0(x)}-1}\pmod{x^n}$$

注意这里的 $G(x)$ 和 $F_0(x)$ 无关，就是由最终的答案 $F$ 求得的 $G$ .

因为求 $G(x)\bmod x^n$ 只需要用到 $F(x)\bmod x^{\lfloor\frac n2\rfloor}$，所以相当于 $G(x)$ 在线给出 .

那么用一般 Newton 迭代即可完成 .

感觉好久没用过 $x$ 了 .

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Phigros 咋玩啊，感觉全不会

rks 都不到 14，难过了 .