2024.4.16 闲话
歌:オフボーカル - ルシノ feat. 初音ミク .
神奇的歌 .
meme
问题:数恰好有 \(k\) 个置换环的排列个数 .
令排列 \(\pi\) 的所有置换环为 \(\operatorname{cyc}(\pi)\) . 首先注意到若:
\[f_n=\sum_{\pi\in S(n)}\sum_{C\in\operatorname{cyc}(\pi)}g_{|C|}
\]
则:
\[\sum_{i\ge0}f_i\dfrac{x^i}{i!}=\exp\sum_{i\ge 1}g_i\dfrac{x^i}i
\]
从而答案就是
\[\left[\frac{x^n}{n!}y^k\right]\exp\sum_{i\ge1}y\dfrac{x^i}i=\left[\frac{x^n}{n!}y^k\right](1-x)^{-y}
\]
what can i say .
arc 花紫了(
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