2024.4.16 闲话

歌：オフボーカル - ルシノ feat. 初音ミク .

神奇的歌 .

meme

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问题：数恰好有 $k$ 个置换环的排列个数 .

令排列 $\pi$ 的所有置换环为 $\operatorname{cyc}(\pi)$ . 首先注意到若：

$$f_n=\sum_{\pi\in S(n)}\sum_{C\in\operatorname{cyc}(\pi)}g_{|C|}$$

则：

$$\sum_{i\ge0}f_i\dfrac{x^i}{i!}=\exp\sum_{i\ge 1}g_i\dfrac{x^i}i$$

从而答案就是

$$\left[\frac{x^n}{n!}y^k\right]\exp\sum_{i\ge1}y\dfrac{x^i}i=\left[\frac{x^n}{n!}y^k\right](1-x)^{-y}$$

upd. 好吧其实是第一类 Stirling 数 .

what can i say .

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arc 花紫了（

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