2024.4.1 闲话

其实应该整个愚人节玩笑的 .

歌：たびのまえ、たびのあと - いよわ feat. 初音ミク .

meme

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很神奇的 .

想算 \(\displaystyle f(n)=\frac1{n^2}\sum_{i=1}^n\varphi(i)\) 的极限，怎么做啊？

\[\begin{aligned}\lim_{n\to+\infty}\dfrac1{n^2}\sum_{i=1}^n\varphi(i)&=\lim_{n\to+\infty}\dfrac1{n^2}\sum_{i=1}^n\mu(i)\cdot S\left(\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor\right)&\text{where }S(n)=\dfrac{n(n-1)}2\\&=\dfrac12\lim_{n\to+\infty}\dfrac1{n^2}\sum_{i=1}^n\mu(i)\cdot \left(\frac ni\right)^2\\&=\dfrac12\sum_{i\ge1}\dfrac{\mu(i)}{i^2}\\&=\dfrac3{\pi^2}\end{aligned} \]

暂且不知道为什么 \(\dfrac{\zeta(-1)}{\zeta(0)}\) 不对（

upd. 擦，肯定不对啊 =.=

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