2024.3.26 闲话

歌：天弓天華オトハナビ - ビートまりおとまろん .

---

快速阶乘算法

给定正整数 \(n\)，求 \((2n+1)!!\bmod 2^{32}\) .

\(1\le n\le 10^{18}\) .

令：\(F_k(x)=(2x+1)!!\bmod2^k\)，有：

\[F_{k+1}(x)=2x\cdot F_k(x-1)+F_{k+1}(x-1) \]

也就是 \(F_{k+1}(x)-F_{k+1}(x-1)=2x\cdot F_k(x-1)\) .

从而 \(k\) 每加一多项式次数加二，从而所求为关于 \(x\) 的 \(62\) 次多项式，插值即可 .

可能需要扩域 .

感觉好多东西都能这样 lifting，ord 和逆元都能操作，可能以后看模 \(2^{32}\) 得想 lifting 了 .

meme