2024.3.23 闲话

登录梦熊联盟了（

歌：可愛いあの子が気にゐらない - なるみや .

好的，我们知道（形式）Taylor 展开：

\[f(x)=\sum_{k\ge0}\dfrac{f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^k}{k!} \]

\(-x_0\) 处展开提取系数：

\[\begin{aligned}\left[\dfrac{x^n}{n!}\right]f(x)&=n!\sum_{k\ge n}\dfrac{\dbinom knx_0^{k-n}f^{(k)}(x_0)}{k!}\\&=\sum_{k\ge n}\dfrac{x_0^{k-n}f^{(k)}(x_0)}{(k-n)!}\end{aligned} \]

在 \(0\) 处展开可以得到：

\[\left[\dfrac{x^n}{n!}\right]f(x)=f^{(n)}(0) \]

联立：

\[\sum_{k\ge n}\dfrac{x_0^{k-n}}{(k-n)!}f^{(k)}(x_0)=f^{(n)}(0) \]

那我也不好说什么了 .

有一个反的：

\[\sum_{k=0}^n\dbinom nk(-1)^{n-k}f(k)=f^{(n)}(0) \]

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