2024.3.14 闲话

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$$\large\pi$$

歌：っぱなし - きらぼし feat. 重音テト .

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首先有：

$$\sum_{k=0}^n\dbinom nk(-1)^kk^p=0$$

对于 $0\le p<n$，所以对于 $\deg f<n$ 有：

$$\sum_{k=0}^n\dbinom nk(-1)^kf(k)=0$$

下面给出这种技巧的几个应用：

Abel 恒等式

$$\sum_{k=0}^n\dbinom nkx(x+kz)^{k-1}(y-kz)^{n-k}=(x+y)^n$$

显然只需要证明 $z=1$ 的情况：

$$\begin{aligned}\mathrm{LHS}&=\sum_{k=0}^n\dbinom nkx(x+k)^{k-1}\sum_{j=0}^{n-k}\dbinom{n-k}j(x+y)^j(-1)^{n-k-j}(x+k)^{n-k-j}\\&=\sum_{j=0}^n\dbinom njx(x+y)^j\sum_{k=0}^{n-j}\dbinom{n-j}k(-1)^{n-j-k}(x+k)^{n-j-1}\end{aligned}$$

根据前述定理即可完成证明 .

Rothe-Hagen 公式

$$\sum_{k=0}^n\dfrac x{x+kz}\dbinom{x+kz}k\dbinom{y-kz}{n-k}=\dbinom{x+y}n$$

$$\begin{aligned}\mathrm{LHS}&=\sum_{k=0}^n\dbinom x{x+kz}\dbinom{x+kz}k\sum_{j=0}^{n-k}\dbinom{x+y}j\dbinom{-x-kz}{n-k-j}\\&=\sum_{j=0}^n\dbinom{x+y}j\sum_{k=0}^{n-j}\dfrac x{x+kz}\dbinom{x+kz}k\dbinom{-x-kz}{n-j-k}\\&=\sum_{j=0}^n\dbinom{x+y}j\sum_{k=0}^{n-j}\dfrac x{(n-j)!}\dbinom{n-j}k(-1)^{n-j-k}\dfrac{(x+kz)^{\overline{n-j-k}}(x+kz)^{\underline k}}{x+kz}\end{aligned}$$

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本质上可以认为是留数方法的应用，因为注意到：

$$\operatorname{Res}\left[\dfrac1z\dbinom{n-z}n^{-1};k\right]=\dbinom nk(-1)^k$$

从而：

$$\sum_{k=0}^n\operatorname{Res}\left[\dfrac{f(z)}z\dbinom{n-z}n^{-1};k\right]=\operatorname{Res}\left[\dfrac{f(z)}z\dbinom{n-z}n^{-1};\infty\right]$$

对于 $\deg f\le n$ .

从而：

$$\sum_{k=0}^n\dbinom nk(-1)^{n-k}f(k)=f^{(n)}(0)$$

图

给的例子或许可以直接广义二项级数 / 广义指数级数爆掉（