2024.3.10 闲话
歌:うらやみしい - Kai feat. 初音ミク + 可不 .
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想要计算:
\[c_p(n)=\sum_{k=0}^{n-1}\omega_n^{kp}[k\perp n]
\]
首先显然答案是积性的,所以只需要考虑素数幂处的值:
\[c_{p^k}(n)=\begin{cases}0&p^{k-1}\nmid n\\-p^{k-1}&p^{k-1}\mathop{\Vert}n\\p^k-p^{k-1}&\text{otherwise.}\end{cases}
\]
所以:
\[c_p(n)=\mu\left(\dfrac p{\gcd(p,n)}\right)\dfrac{\varphi(p)}{\varphi(\frac{p}{\gcd(p,n)})}
\]
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