2024.2.27 闲话

歌:とんでもない雨が降って - えいぐふと feat. 初音ミク .


希望求出 f(n)=i=1n1φ(i) 的渐进式 .

因为:

1φ(n)=dnμ2(d)φ(d)

(证明的方法有很多)

所以可以写作:

f(n)=i=1nμ2(i)iφ(i)Hni=i=1nμ2(i)iφ(i)(lognk+γ+O(kn))=(logn+γ)i=1nμ2(i)iφ(i)i=1nμ2(i)logiiφ(i)+O(1ni=1nμ2(i)φ(i))

分成三部分,分别看:

O 的部分令 φ(n)=Ω(nε) 则容易导出是 O(nε) .

中间的和式也可以类似处理,考虑无穷级数,余项是:

i>nO(1)logiiΩ(iε)=O(nεlogn)

那么如果 μ2φ 的 DGF 是 F 则剩下的部分就是 F(1) .

这里的处理比较神秘,注意到有 Euler 乘积公式:

F(z)=pPpz+1pz+1pz+1pz

取 ln 求导:

F(z)F(z)=pP(pz+1pz+1)pz+1pz+1pP(pz+1pz)pz+1pz=pPlogppz+1pz+1

代入 z=1 即可得到

F(z)=F(1)pPlogppz+1pz+1

F(1) 比较简单:

F(1)=pPp2p+1p2p=pP(1p6)(1p2)(1p3)=ζ(2)ζ(3)ζ(6)

左边的和式就简单多了,同样考虑无穷级数,余项是:

i>nO(1)iΩ(iε)=O(nε)

剩下的 DGF 就是 F(1),前面已经做过了 .

那么整合起来也就是:

f(n)=ζ(2)ζ(3)ζ(6)(logn+γpPlogpp2p+1)+O(nεlogn)

可以写一个更正常的形式,虽然损失了一些细节:

f(n)=ζ(2)ζ(3)ζ(6)lnn+o(lnn)

Reference:

e (not for you)

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