2024.2.27 闲话

歌：とんでもない雨が降って - えいぐふと feat. 初音ミク .

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希望求出 $\displaystyle f(n)=\sum_{i=1}^n\dfrac1{\varphi(i)}$ 的渐进式 .

因为：

$$\dfrac{1}{\varphi(n)}=\sum_{d\mid n}\dfrac{\mu^2(d)}{\varphi(d)}$$

（证明的方法有很多）

所以可以写作：

$$\begin{aligned}f(n)&=\sum_{i=1}^n\dfrac{\mu^2(i)}{i\cdot\varphi(i)}H_{\lfloor\frac ni\rfloor}\\&=\sum_{i=1}^n\dfrac{\mu^2(i)}{i\cdot\varphi(i)}\left(\log\tfrac nk+\gamma+O(\tfrac kn)\right)\\&=(\log n+\gamma)\sum_{i=1}^n\dfrac{\mu^2(i)}{i\cdot\varphi(i)}-\sum_{i=1}^n\dfrac{\mu^2(i)\log i}{i\cdot\varphi(i)}+O\left(\dfrac1n\sum_{i=1}^n\dfrac{\mu^2(i)}{\varphi(i)}\right)\end{aligned}$$

分成三部分，分别看：

$O$ 的部分令 $\varphi(n)=\Omega(n^{\varepsilon})$ 则容易导出是 $O(n^{-\varepsilon})$ .

中间的和式也可以类似处理，考虑无穷级数，余项是：

$$\sum_{i>n}\dfrac{O(1)\log i}{i\cdot\Omega(i^{\varepsilon})}=O(n^{-\varepsilon}\log n)$$

那么如果 $\dfrac{\mu^2}{\varphi}$ 的 DGF 是 $F$ 则剩下的部分就是 $-F'(1)$ .

这里的处理比较神秘，注意到有 Euler 乘积公式：

$$F(z)=\prod_{p\in\mathbb P}\dfrac{p^{z+1}-p^z+1}{p^{z+1}-p^z}$$

取 ln 求导：

$$\begin{aligned}\dfrac{F'(z)}{F(z)}&=\sum_{p\in\mathbb P}\dfrac{(p^{z+1}-p^z+1)'}{p^{z+1}-p^z+1}-\sum_{p\in\mathbb P}\dfrac{(p^{z+1}-p^z)'}{p^{z+1}-p^z}\\&=\sum_{p\in\mathbb P}\dfrac{\log p}{p^{z+1}-p^z+1}\end{aligned}$$

代入 $z=1$ 即可得到

$$F'(z)=F(1)\sum_{p\in\mathbb P}\dfrac{\log p}{p^{z+1}-p^z+1}$$

$F(1)$ 比较简单：

$$F(1)=\prod_{p\in\mathbb P}\dfrac{p^2-p+1}{p^2-p}=\prod_{p\in\mathbb P}\dfrac{(1-p^{-6})}{(1-p^{-2})(1-p^{-3})}=\dfrac{\zeta(2)\zeta(3)}{\zeta(6)}$$

左边的和式就简单多了，同样考虑无穷级数，余项是：

$$\sum_{i>n}\dfrac{O(1)}{i\cdot\Omega(i^{\varepsilon})}=O(n^{-\varepsilon})$$

剩下的 DGF 就是 $F(1)$，前面已经做过了 .

那么整合起来也就是：

$$f(n)=\dfrac{\zeta(2)\zeta(3)}{\zeta(6)}\left(\log n+\gamma-\sum_{p\in\mathbb P}\dfrac{\log p}{p^2-p+1}\right)+O(n^{-\varepsilon}\log n)$$

可以写一个更正常的形式，虽然损失了一些细节：

$$f(n)=\dfrac{\zeta(2)\zeta(3)}{\zeta(6)}\ln n+o(\ln n)$$

Reference:

• 两个结论的证明记录 - esquigybcu .
• 阅读理解（一） - m256i .

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