歌:とんでもない雨が降って - えいぐふと feat. 初音ミク .

希望求出 f(n)=n∑i=11φ(i) 的渐进式 .
因为:
1φ(n)=∑d∣nμ2(d)φ(d)
(证明的方法有很多)
所以可以写作:
f(n)=n∑i=1μ2(i)i⋅φ(i)H⌊ni⌋=n∑i=1μ2(i)i⋅φ(i)(lognk+γ+O(kn))=(logn+γ)n∑i=1μ2(i)i⋅φ(i)−n∑i=1μ2(i)logii⋅φ(i)+O(1nn∑i=1μ2(i)φ(i))
分成三部分,分别看:
O 的部分令 φ(n)=Ω(nε) 则容易导出是 O(n−ε) .
中间的和式也可以类似处理,考虑无穷级数,余项是:
∑i>nO(1)logii⋅Ω(iε)=O(n−εlogn)
那么如果 μ2φ 的 DGF 是 F 则剩下的部分就是 −F′(1) .
这里的处理比较神秘,注意到有 Euler 乘积公式:
F(z)=∏p∈Ppz+1−pz+1pz+1−pz
取 ln 求导:
F′(z)F(z)=∑p∈P(pz+1−pz+1)′pz+1−pz+1−∑p∈P(pz+1−pz)′pz+1−pz=∑p∈Plogppz+1−pz+1
代入 z=1 即可得到
F′(z)=F(1)∑p∈Plogppz+1−pz+1
F(1) 比较简单:
F(1)=∏p∈Pp2−p+1p2−p=∏p∈P(1−p−6)(1−p−2)(1−p−3)=ζ(2)ζ(3)ζ(6)
左边的和式就简单多了,同样考虑无穷级数,余项是:
∑i>nO(1)i⋅Ω(iε)=O(n−ε)
剩下的 DGF 就是 F(1),前面已经做过了 .
那么整合起来也就是:
f(n)=ζ(2)ζ(3)ζ(6)(logn+γ−∑p∈Plogpp2−p+1)+O(n−εlogn)
可以写一个更正常的形式,虽然损失了一些细节:
f(n)=ζ(2)ζ(3)ζ(6)lnn+o(lnn)
Reference:
e (not for you)

【推荐】国内首个AI IDE,深度理解中文开发场景,立即下载体验Trae
【推荐】编程新体验,更懂你的AI,立即体验豆包MarsCode编程助手
【推荐】抖音旗下AI助手豆包,你的智能百科全书,全免费不限次数
【推荐】轻量又高性能的 SSH 工具 IShell:AI 加持,快人一步
· 地球OL攻略 —— 某应届生求职总结
· 周边上新:园子的第一款马克杯温暖上架
· Open-Sora 2.0 重磅开源!
· 提示词工程——AI应用必不可少的技术
· .NET周刊【3月第1期 2025-03-02】